6山形大学 2022年 数学 第6問解答・解説

(1)

円 $O_{3}$ の半径を $\rho>0$ とする。外接するので、中心間距離は $|\alpha+5|=\rho+1+2\sqrt{5}$、$|\alpha-5|=\rho+1$ である。
したがって $|\alpha+5|>|\alpha-5|$ である。$\alpha=x+yi$ とおくと、両距離の 2 乗の差は $(x+5)^{2}+y^{2}-\{(x-5)^{2}+y^{2}\}=20x$ である。
この差は正なので $x>0$、すなわち $\alpha$ の実部は正である。

(2)

$d_{1}=|\alpha+5|$、$d_{2}=|\alpha-5|$ とすると $d_{1}-d_{2}=2\sqrt{5}$ である。
$d_{1}^{2}-d_{2}^{2}=20x$ より $d_{1}+d_{2}=\dfrac{20x}{2\sqrt{5}}=2\sqrt{5}\,x$ である。
よって $d_{2}=\sqrt{5}(x-1)$ である。両辺を 2 乗して $(x-5)^{2}+y^{2}=5(x-1)^{2}$ を整理すると $4x^{2}-y^{2}=20$ となる。
(1) より $x>0$ なので $x=\dfrac{\sqrt{y^{2}+20}}{2}$ である。
逆にこの右枝では $x\geqq\sqrt{5}$、$d_{2}=\sqrt{5}(x-1)\geqq5-\sqrt{5}>1$ となるため $\rho=d_{2}-1>0$ が確保される。
また $d_{1}=\sqrt{5}(x+1)$ なので距離差も $2\sqrt{5}$ となり、得られた枝全体が実現する。

(3)

実部 $x>0$ なので $t=\tan(\arg\alpha)=\dfrac{y}{x}$ が定義される。
(2) の $4x^{2}-y^{2}=20$ を $x^{2}$ で割ると $t^{2}=4-\dfrac{20}{x^{2}}<4$ である。よって $-2<t<2$ となる。
逆にこの範囲の $t$ に対して $x=\sqrt{\dfrac{20}{4-t^{2}}}>0$、$y=tx$ と定めれば (2) を満たし、半径 $\rho>0$ の円が実現する。したがって全範囲が実際にとれる。

(4)

$y=tx$ を $4x^{2}-y^{2}=20$ に代入すると $x^{2}(4-t^{2})=20$ となる。
$x>0$ なので $x=\dfrac{2\sqrt{5}}{\sqrt{4-t^{2}}}$、$y=\dfrac{2\sqrt{5}\,t}{\sqrt{4-t^{2}}}$ である。これより $\alpha=x+yi$ は結論の形となる。

(5)

$\arg\alpha=\dfrac{\pi}{3}$ なら $t=\sqrt{3}$ である。(4) より $\alpha=2\sqrt{5}+2\sqrt{15}\,i$ となる。
$|\alpha+5|=\sqrt{(5+2\sqrt{5})^{2}+60}=10+\sqrt{5}$ である。
接点 $\mathrm{Q}$ は $O_{1}$ の中心 $-5$ から $\mathrm{P}$ へ向かう線分上にあり、その中心からの距離は $O_{1}$ の半径 $1+2\sqrt{5}$ である。よって
$$\beta=-5+\dfrac{1+2\sqrt{5}}{10+\sqrt{5}}(\alpha+5).$$
比 $\dfrac{1+2\sqrt{5}}{10+\sqrt{5}}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$ なので、
$$\beta=-5+\dfrac{5+2\sqrt{5}+2\sqrt{15}\,i}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}-3+2\sqrt{3}\,i.$$