3富山大学 2026年 数学 第3問解答・解説

(1)

円周上では $A,A',B$ の順となり、$C'$ は $A$ の手前の弧にある。
$A'$ を含まない弧 $AC'$ の中心角は $\frac{2\pi}3-\theta$ なので、円周角 $\angle AA'C'=\frac\pi3-\frac\theta2$ である。
同様に、$A$ を含まない弧 $A'B$ の中心角も $\frac{2\pi}3-\theta$ なので、$\angle A'AB$ も同じである。

(2)

$t=\frac\theta2,\delta=\frac\pi3-t$ とおく。$AA'=2\sin t$ である。
$\triangle AA'P$ では $A,A'$ の角が $\delta$ なので、正弦定理から $A'P=\frac{2\sin t\sin\delta}{\sin(\pi-2\delta)}$ となる。
$\sin(\pi-2\delta)=2\sin\delta\cos\delta$、$\cos\delta=\sin(\frac\pi6+t)$ より、$A'P=\frac{\sin t}{\sin(\frac\pi6+t)}$ である。
$\triangle AA'Q$ では、$A$ の角は $\delta$、$Q$ の角は $\theta$（$AB$ と $A'B'$ の角）なので、$A'Q=\frac{2\sin t\sin\delta}{\sin\theta}=\frac{\sin\delta}{\cos t}$ となる。

(3)

二つの正三角形の共通部分は、一方の正三角形から各頂点付近の合同な三角形を三個取り去った六角形である。
$A'$ における切り取りは $\triangle A'PQ$ であり、頂角は $\frac\pi3$、二辺は(2)の長さである。元の正三角形の辺長は $\sqrt3$、面積は $\frac{3\sqrt3}4$ となる。
したがって $S=\frac{3\sqrt3}4-3\frac{\sqrt3}4A'P\cdot A'Q$ である。
$x=\tan t$ から、$A'P=\frac{2x}{1+\sqrt3x}$、$A'Q=\frac{\sqrt3-x}2$ となる。積は $\frac{x(\sqrt3-x)}{1+\sqrt3x}$ なので、$1-A'P\cdot A'Q=\frac{1+x^2}{1+\sqrt3x}$ となり結論を得る。

(4)

$x=\tan\frac\theta2$ とおくと、$d\theta=\frac{2}{1+x^2}\,dx$ である。$\theta=\frac\pi3$ で $x=\frac1{\sqrt3}$、$\theta=\frac\pi2$ で $x=1$ となる。
したがって積分は $\frac{3\sqrt3}2\int_{\frac1{\sqrt3}}^1\frac{dx}{1+\sqrt3x}=\frac32[\log(1+\sqrt3x)]_{\frac1{\sqrt3}}^1=\frac32\log\frac{1+\sqrt3}2$ である。