3富山大学 2024年 数学 第3問解答・解説

(1)

$2024!$ の素因数2の指数は $\sum_{j\geqq1}\left[\frac{2024}{2^j}\right]$。各数が含む2を一段ずつ数えることでこの公式が得られる。値は $1012+506+253+126+63+31+15+7+3+1=2017$。従って $2^n$ で割った商が整数となる最大 $n$ は2017。

(2)

2の指数 $v_2(m!)$ は $m$ とともに非減少。$2031!$ では $1015+507+253+126+63+31+15+7+3+1=2021<2024$。一方 $2032=16\cdot127$ なので $2032!$ の指数は $2021+4=2025\geqq2024$。従ってそれより小さい $m$ は全て不可で、最小 $m$ は2032。