2東邦大学 2025年 数学 第2問解答・解説

(1)

複素数を座標に直すと、$(1,3),(2,-2),(k,1)$である。最初の2点を結ぶ直線は$y=-5x+8$だから、$1=-5k+8$より$k=\frac75$である。

(2)

平面$ABC$は$x+\frac y2+\frac z3=1$である。原点からの垂線の方向は$\vec n=(1,\frac12,\frac13)$で、$\overrightarrow{OH}=\lambda\vec n$を代入すると、$\lambda(1+\frac14+\frac19)=1$から$\lambda=\frac{36}{49}$である。
$\overrightarrow{AH}=(-\frac{13}{49},\frac{18}{49},\frac{12}{49})=a(-1,2,0)+b(-1,0,3)$から、$a=\frac9{49},b=\frac4{49}$である。

(3)

$t=\sqrt2\sin(x+\frac\pi4)$、$\frac\pi4\leqq x+\frac\pi4\leqq\frac{5\pi}4$なので、$-1\leqq t\leqq\sqrt2$である。
$\sin x\cos x=\frac{t^2-1}2$から、$f=\frac{t^3-t}2$である。導関数$\frac{3t^2-1}2$より、候補$t=-1,-\frac1{\sqrt3},\frac1{\sqrt3},\sqrt2$の値は順に$0,\frac{\sqrt3}9,-\frac{\sqrt3}9,\frac{\sqrt2}2$である。最小値は$-\frac{\sqrt3}9$である。

(4)

除式の根は$\frac23$と$-2$である。$u=(\frac23)^{n+2},v=(-2)^{n+2}$とおくと、$\frac23a_n+b_n=u,-2a_n+b_n=v$である。
よって、$a_n=\frac{3(u-v)}8,b_n=\frac{3u+v}4$である。$\frac uv=(-\frac13)^{n+2}\to0$より、$\frac{b_n}{a_n}=\frac{2(3\frac uv+1)}{3(\frac uv-1)}\to-\frac23$となる。

(5)

中心$(4,0)$と直線$3x-4y=0$の距離は$d=\frac{12}5$である。直線に沿う座標を$u$、垂直な座標を$v$とし、中心からの$u$の差を$s$とおく。
$|s|\leqq2$で、円板の断面の回転後は、外半径$d+\sqrt{4-s^2}$、内半径$d-\sqrt{4-s^2}$の環となる。$d>2$なので穴は常に残り、断面積は$4\pi d\sqrt{4-s^2}$である。
よって、体積は$4\pi d\int_{-2}^2\sqrt{4-s^2}\,ds=4\pi d\times2\pi=\frac{96\pi^2}5$である。