3昭和医科大学 2024年 数学 第3問解答・解説

(1)

②を $y=mx+n$、異なる接点の $x$ 座標を $p,q$ とする。$f(x)-mx-n=(x-p)^2(x-q)^2$。$x^3$ 係数から $p+q=0$、$x^2$ 係数から $2pq=-4$ で $pq=-2$。$x$ 係数は $-2pq(p+q)=0$ なので $m=4$、定数は $p^2q^2=4$ なので $2-n=4$、$n=-2$。実際 $f(x)-(4x-2)=(x^2-2)^2$ で $\pm\sqrt2$ に接する。

(2)

平行線の傾きは4。$f\prime(x)=4x^3-8x+4=4$ から $x(x^2-2)=0$、接点候補は $0,\pm\sqrt2$。$\pm\sqrt2$ は同じ②に接し、残る $x=0$ の接線は $f(0)=2$ より $y=4x+2$。$f(x)-(4x+2)=x^2(x^2-4)$ なので接点は0だけ（$\pm2$ は単純交点）。

(3)

②は曲線以下で接点は $\pm\sqrt2$。$$S_1=\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}(x^2-2)^2\,dx=2\left[\frac{x^5}{5}-\frac{4x^3}{3}+4x\right]_0^{\sqrt2}=\frac{64\sqrt2}{15}.$$

(4)

③との差は $x^2(x^2-4)$。交点 $-2,0,2$ の間では③が曲線以上で、0で接する左右2領域の面積の和は$$\int_{-2}^2(4x^2-x^4)\,dx=2\left[\frac{4x^3}{3}-\frac{x^5}{5}\right]_0^2=\frac{128}{15}.$$

(5)

極値をとる3点の $x$ 座標は $f\prime(x)=4(x^3-2x+1)=0$ の3異根である。実際 $x^3-2x+1=(x-1)(x^2+x-1)$ で3異根。各根 $t$ は $t^3=2t-1$、したがって $t^4=2t^2-t$ を満たすから $f(t)=-2t^2+3t+2$。よって3点はこの放物線上にあり、異なる3横座標を通る2次関数は一意。