2昭和医科大学 2024年 数学 第2問解答・解説

(1)

真数条件は $-3<x<\frac13$。両辺を2倍して底2にそろえると $\log_2\{(1-3x)^2(x+3)\}\leqq4$、すなわち $(1-3x)^2(x+3)\leqq16$。整理して $(x-1)(9x^2+30x+13)\leqq0$。真数条件内で $x-1<0$ だから $9x^2+30x+13\geqq0$。二根は $\frac{-5\pm2\sqrt3}{3}$ なので、定義域との共通部分が答え。

(2)

$x=n+u$（$n$ は整数、$0\leqq u<1$）とすると $[3x]-[x]=2n+[3u]$。$0\leqq u<\frac13$ なら $[3u]=0$ で $n=1$、したがって $1\leqq x<\frac43$。$\frac13\leqq u<\frac23$ なら $2n+1=2$ に整数解なし。$\frac23\leqq u<1$ なら $[3u]=2$ で $n=0$、したがって $\frac23\leqq x<1$。両区間の和は $\frac23\leqq x<\frac43$。

(3)

展開すると $x^2+\frac1{x^2}+\frac52$。$x>0$ より相加相乗平均で $x^2+\frac1{x^2}\geqq2$、等号は $x^2=\frac1{x^2}$、すなわち $x=1$。したがって最小値 $\frac92$。

(4)

$s=x+y$、$p=xy$ とおく。条件から $s^2-p=1$ なので $p=s^2-1$。また $(x-y)^2=s^2-4p=4-3s^2\geqq0$ より $-\frac2{\sqrt3}\leqq s\leqq\frac2{\sqrt3}$。この区間の各 $s$ は実数 $x,y$ を与える。目的式は$$s+2p=2s^2+s-2=2(s+\tfrac14)^2-\frac{17}{8}.$$最小は $s=-\frac14$ で $-\frac{17}{8}$、最大は端点 $s=\frac2{\sqrt3}$ で $\frac23+\frac2{\sqrt3}$。

(5)

$x\geqq0$ では $\bigl||x|-1\bigr|=|x-1|$ なので $|x-1|+|y|\leqq1$。これは中心 $(1,0)$ の閉ひし形。$x\leqq0$ では $\bigl||x|-1\bigr|=|x+1|$ なので $|x+1|+|y|\leqq1$。中心 $(-1,0)$ の閉ひし形であり、双方は原点で接する。