1昭和医科大学 2024年 数学 第1問解答・解説

(1)

$z\ne0$ に注意して $z^{2}-\sqrt{2}z+1=0$ を解くと $z=\dfrac{\sqrt{2}\pm\sqrt{2}\,i}{2}=\cos\left(\pm\dfrac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\pm\dfrac{\pi}{4}\right)$ である。$2024=8\cdot253$ なので $z^{2024}=1$。逆数も 1 で、和は 2 である。

(2)

$z=x+yi$（$z\ne0$）とすると、$z+\dfrac{1}{z}$ の虚部は $y\left(1-\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}\right)$ である。これが 0 となるのは $y=0$ または $x^{2}+y^{2}=1$ のときである。元の式で $z=0$ は定義されないので除外する。

(3)

$w$ の軌跡は中心 $-2+2i$、半径 1 の円である。実軸とこの円の最短距離は $2-1=1$（$z=-2$ で達成）である。一方 $|z|=1$ では、$\mathrm{C}=-2+2i$ とおくと三角不等式から $|z-w|\geqq|\mathrm{C}|-|w-\mathrm{C}|-|z|\geqq2\sqrt{2}-2$ である。$O$ と $\mathrm{C}$ を結ぶ直線上で互いに最も近い両円周の点を選ぶと等号が成り立つ。$2\sqrt{2}-2<1$ なので、全体の最小値はこれである。

(4-1)

各群はパスカルの三角形の第 $n-1$ 段であり、第 $n$ 群の項は ${}_{n-1}\mathrm{C}_{0}$、${}_{n-1}\mathrm{C}_{1}$、$\cdots$、${}_{n-1}\mathrm{C}_{n-1}$ である。二項定理 $(1+1)^{n-1}$ により、総和は $2^{n-1}$ である。

(4-2)

各群の和を第 1 群から第 $n$ 群まで加える。$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}2^{k-1}=\dfrac{2^{n}-1}{2-1}=2^{n}-1$ である。