4昭和医科大学 2023年 数学 第4問解答・解説

1から$n$までの自然数を重複なく1枚に1つずつ記した$n$枚のカードを用意した。次の各問いに答えよ。ただし、答えは結果のみを解答欄に記入せよ。

(1) $n$枚のカードから同時に2枚のカードを選ぶ。カードに記された数字の和が$n+1$より小さい場合が何通りあるか調べたい。
(1-1) $n=8$のとき何通りあるか。
(1-2) $n=9$のとき何通りあるか。
(1-3) $n$が偶数のとき何通りあるか。
(1-4) $n$が奇数のとき何通りあるか。

(2) $p$は自然数とする$(p<n)$。$n$枚のカードから$p$と$p+1$が記された計2枚のカードを抜きだした。残ったカードに記された自然数を全て合計すると2023となった。このときの自然数$p$と$n$とを求めよ。