3昭和医科大学 2023年 数学 第3問解答・解説

$xy$平面上で、直線$y=\dfrac34x$を①、第1象限上かつ直線①上に存在し、原点$O(0,0)$から距離5の点を$A$とする。また、軸が$y$軸に平行で、$A$を通り、原点$O$で①と交わる放物線を②とする。ただし、放物線②の原点$O$における接線は直線①と直交する。さらに、放物線②上で$OA$間に存在する点を$P$とし、その$x$座標を$p$とする。点$P$を通り直線①と直交する直線と直線①との交点を$B$として、線分$PB$の長さを$h$とし、線分$OB$の長さを$t$とする。次の各問いに答えよ。ただし、答えは結果のみを解答欄に記入せよ。

(1) 点$A$の座標を求めよ。

(2) 放物線②の方程式を$x,y$を用いて表せ。

(3) $h$を$p$を用いて表せ。

(4) $t$を$p$を用いて表せ。

(5) 直線①と放物線②で囲まれる範囲について、直線①を軸として回転したときにできる立体の体積を$V$とする。体積$V$を求めよ。