2昭和医科大学 2023年 数学 第2問解答・解説

(1)

$a+b=8-c$、$a^{2}+b^{2}=32-c^{2}$ である。$a,b$ が実数なので$$(a-b)^{2}=2(a^{2}+b^{2})-(a+b)^{2}=2(32-c^{2})-(8-c)^{2}=c(16-3c)\geqq0$$よって $0\leqq c\leqq\dfrac{16}{3}$。逆にこの範囲の $c$ に対して $a,b=\dfrac{8-c\pm\sqrt{c(16-3c)}}{2}$ とすれば条件を満たすので、求める範囲は $0\leqq c\leqq\dfrac{16}{3}$。

(2)

$t=(\frac12)^x>0$とおくと、$t^3-21t+20=(t-1)(t-4)(t+5)\leqq0$である。
$t>0$での解は$1\leqq t\leqq4$である。底$\frac12$は$1$未満なので、指数に戻すと$-2\leqq x\leqq0$となる。

(3)

$\vec{u}=\vec{a}+3\vec{b},\vec{v}=3\vec{a}-\vec{b}$とおくと、$|\vec{u}|=|\vec{v}|=5,\ \vec{a}+\vec{b}=\frac{2\vec{u}+\vec{v}}5$である。
三角不等式と逆三角不等式から、$5\leqq|2\vec{u}+\vec{v}|\leqq15$である。
逆に、$\vec{u},\vec{v}$のなす角を$0$から$\pi$まで連続に変えれば全中間値を取り、元の$\vec{a}=\frac{\vec{u}+3\vec{v}}{10},\vec{b}=\frac{3\vec{u}-\vec{v}}{10}$で条件を実現できる。

(4-1)

$A=\log a>0,B=\log b>0,A\ne B$とおくと、$x=\frac{A+B}{2A},y=\frac{2B}{A+B}$である。
差は$\frac{(A+B)^2-4AB}{2A(A+B)}=\frac{(A-B)^2}{2A(A+B)}>0$である。

(4-2)

相加相乗平均の厳密な不等式より、$\frac{a+b}2>\sqrt{ab}>1$である。
したがって、$\log(\frac{a+b}2)>\log\sqrt{ab}>0$であり、分子$\log b>0$は共通なので、$w<y$となる。

(4-3)

$a>1$なので、底$a$の対数は狭義増加である。
相加相乗平均より、$z=\log_a(\frac{a+b}2)>\log_a\sqrt{ab}=x$である。これと(4-1),(4-2)を結合する。