1昭和医科大学 2023年 数学 第1問解答・解説

(1)

$z^5=1,z\ne1$なので、$1+z+z^2+z^3+z^4=0$である。
$w=z+z^3,\overline w=z^4+z^2$なので、$w+\overline w=-1$となる。

(2)

$w\overline w=(z+z^3)(z^4+z^2)=2+z^2+z^3=2+2\cos(\frac{4\pi}5)$である。
$u=z+z^4$とすると$u^2+u-1=0$であり、$u>0$より$u=\frac{\sqrt5-1}2$となる。
$z^2+z^3=-1-u=-\frac{1+\sqrt5}2$なので、実部は$\frac{3-\sqrt5}2$である。

(3)

$w\overline w=|w|^2$は実数なので、虚部は$0$である。

(4)

焦点$z^2,z^3$は$(\cos(\frac{4\pi}5),\pm\sin(\frac\pi5))$である。
中心を移して縦軸方向の双曲線と見ると、焦点距離パラメータは$c=\sin(\frac\pi5)>0$である。距離の差が$\sin(\frac\pi5)$なので、$2a=c,\ a=\frac c2$である。
$b^2=c^2-a^2=\frac{3c^2}4$となる。縦向き双曲線の漸近線は$Y=\pm\frac abX$なので、傾き絶対値は$\frac1{\sqrt3}$である。