2信州大学 2025年 数学 第2問解答・解説

(1)

数字は 4 個、文字は 3 個である。交互に並べるとき、並びは「数字・文字・数字・文字・数字・文字・数字」の 1 通りに決まる。
数字の並べ方は $4!=24$ 通り、文字の並べ方は $3!=6$ 通りなので、求める並べ方は $4!\times 3!=144$ 通りである。

(2)

文字 $a$、$b$、$c$ の並びと、数字 $1$、$2$、$3$、$4$ の並びに分けて考える。
まず、7 か所のうち文字を置く 3 か所を選ぶ。その選び方は ${}_{7}\mathrm{C}_{3}=35$ 通りで、残りの 4 か所に数字が入る。
文字については、3 か所のうち一番右に $a$ を置き、残りの 2 か所に $b$、$c$ を入れる。$b$、$c$ の入れ方は 2 通りである。
数字については、4 か所のうち左の 2 か所に $2$、$4$ を、右の 2 か所に $1$、$3$ を入れる。左の 2 か所の入れ方が 2 通り、右の 2 か所の入れ方が 2 通りなので、4 通りである。
よって求める並べ方は $35\times 2\times 4=280$ 通りである。

(3)

7 個の並べ方は全部で $7!=5040$ 通りである。
$1$ が $a$ より右、$2$ が $b$ より右、$3$ が $c$ より右という条件は、組 $(a,\,1)$、$(b,\,2)$、$(c,\,3)$ それぞれについて、左右の順を決めることである。組の左右の順は 3 組あるので、順の組み合わせは $2^{3}=8$ 通りあり、どの組み合わせも同じ個数ずつ起こる。
よって、求める並べ方は $\dfrac{7!}{2^{3}}=\dfrac{5040}{8}=630$ 通りである。