1信州大学 2022年 数学 第1問解答・解説

(1)

$O$ を原点にとり $\overrightarrow{OA}=\vec a,\overrightarrow{OB}=\vec b$ とすると、$O$ が $BC$ の中点なので $\overrightarrow{OC}=-\vec b$。$\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a,\overrightarrow{AC}=-\vec b-\vec a$ であるから、内積は $(\vec b-\vec a)\cdot(-\vec b-\vec a)=|\vec a|^2-|\vec b|^2$ となる。

(2)

一組の対辺 $PS,QR$ が平行かつ等長なので、四角形 $PQRS$ は平行四辺形である。対角線 $PR,QS$ の共通中点を $O$ とする。
(1)を三角形 $TPR,TQS$ に適用すると $\overrightarrow{TP}\cdot\overrightarrow{TR}=|\overrightarrow{OT}|^2-|\overrightarrow{OP}|^2,\overrightarrow{TQ}\cdot\overrightarrow{TS}=|\overrightarrow{OT}|^2-|\overrightarrow{OQ}|^2$。仮定から $|\overrightarrow{OP}|=|\overrightarrow{OQ}|$ となり、対角線 $PR,QS$ は等長。
別の方法として、$\overrightarrow{OP}=\vec p,\overrightarrow{OQ}=\vec q,\overrightarrow{OR}=-\vec p,\overrightarrow{OS}=-\vec q$ と置くと $\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{PS}=(\vec q-\vec p)\cdot(-\vec q-\vec p)=|\vec p|^2-|\vec q|^2=0$。平行四辺形の1角が直角なので長方形である。$T$ が対角線上にある場合も同じ内積恒等式が成立する。