4島根大学 2023年 数学 第4問解答・解説

(1)

$n$ は自然数なので $n\geqq1$。$2-\frac{n+5}{n+2}=\frac{n-1}{n+2}\geqq0$ だから成立する。等号は $n-1=0$ のとき。

(2)

$t=\frac a{n+1}$、$c=\frac{n+5}{n+2}$ と置く。積分は $I=\int_0^1f(x)\,dx=1-t$、$J=\int_0^1xf(x)\,dx=\frac12-\frac a{n+2}$。
差 $D=\frac23I^2-J$ を整理すると
$$6D=4t^2-2ct+1=4\left(t-\frac c4\right)^2+1-\frac{c^2}4.$$
(1)から $0<c\leqq2$ なので $1-\frac{c^2}4\geqq0$。従って $D\geqq0$ となり、設問の不等式を得る。$a$ には符号制限を一切置いていない。

(3)

上の2つの非負項がともに $0$ となる必要十分条件は $c=2$、$t=\frac c4=\frac12$。$c=2$ は(1)により $n=1$。そのとき $t=\frac a{n+1}=\frac a2$ だから $a=1$。
実際 $f(x)=1-x$ なら $J=\frac16$、$\frac23I^2=\frac23\left(\frac12\right)^2=\frac16$ で等号が成立する。