1島根大学 2023年 数学 第1問解答・解説

(1) 内積

$\vec a=\overrightarrow{OA}$、$\vec b=\overrightarrow{OB}$ と置く。$\angle OBA=90^\circ$ より $(\vec a-\vec b)\cdot\vec b=0$ なので $\vec a\cdot\vec b=|\vec b|^2=1$。

(2) cosθ

座標を $O=(0,0),B=(1,0),A=(1,\sqrt3)$ と取れる。$P=(t,\sqrt3t),Q=(\frac12,0)$。
$BP$ 上の点の位置ベクトルを $\overrightarrow{OB}+\lambda\overrightarrow{BP}$、$AQ$ 上の点を $\overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{AQ}$ と表し、成分比較すると $\lambda=\frac1{2-t},s=\frac{2(1-t)}{2-t}$。従って $C=\left(\frac1{2-t},\frac{\sqrt3t}{2-t}\right)$。
$0<t<1$ なので $2-t>0$、$\overrightarrow{OC}$ の横成分は正。$\overrightarrow{OQ}$ は正の $x$ 軸方向だから、$\cos\theta=\frac{C_x}{\sqrt{C_x^2+C_y^2}}=\frac1{\sqrt{1+3t^2}}$。

(3) 2解を持つaの範囲

方程式は $1+3t^2-6at=0$。$t>0$ で割ると $a=F(t)=\frac t2+\frac1{6t}$。$F\prime(t)=\frac{3t^2-1}{6t^2}$ なので、$t=\frac1{\sqrt3}$ で最小値 $\frac1{\sqrt3}$ を取る。
この点は $\frac13<t<\frac23$ 内にあり、左側では減少、右側では増加する。開区間の両端の値は $F(\frac13)=\frac23$、$F(\frac23)=\frac7{12}$。
両枝に1解ずつ持つ必要十分条件は、最小値より厳密に大きく、両端値の小さい方より厳密に小さいこと。従って $\frac1{\sqrt3}<a<\frac7{12}$。等号では最小点での1解、または除外された端点を含むので不可。