2島根大学 2023年 数学 第2問解答・解説

(1) Aₙ

隣り合う項 $1+(-1)=0$ を組にする。偶数項までなら全て相殺し $0$、奇数項までなら最後の $1$ だけが残る。従って $A_n=\frac{1-(-1)^n}2$。

(2) Sₙ

$n=2m$ では $(1-2)+(3-4)+\cdots+\{(2m-1)-2m\}=-m$。
$n=2m-1$ では $S_{2m-1}=S_{2m}+2m=m$。これを $n$ で表して結論を得る。

(3) Cₙ

$S_{2j-1}=j$、$S_{2j}=-j$ なので $S_{2j-1}+S_{2j}=0$。$n$ が偶数なら $\sum_{k=1}^nS_k=0$。
$n$ が奇数なら最後の $S_n=\frac{n+1}2$ だけ残る。各場合に $n$ で割れば結論となる。