3島根大学 2023年 数学 第3問解答・解説

(1) 定義域

対数の真数が正である条件は $3-2^{-x}>0$、すなわち $2^{-x}<3$。底 $2>1$ なので $-x<\log_2 3$、従って $x>-\log_2 3$。

(2) f(x)=0の解

$t=2^{-x}$ と置くと $0<t<3$ で、$x\log2=-\log t$。従って $f(x)=-\log\{t(3-t)\}$。
$f(x)=0$ は $t(3-t)=1$、すなわち $t^2-3t+1=0$ に同値。両根 $\frac{3\pm\sqrt5}2$ はいずれも $(0,3)$ にあるので、2つの $x$ が結論の通り得られる。

(3) 最小値

$0<t<3$ では $t(3-t)=\frac94-\left(t-\frac32\right)^2\leqq\frac94$、等号は $t=\frac32$。$-\log u$ は $u>0$ で減少するので、$f(x)=-\log\{t(3-t)\}\geqq-\log\frac94=-2\log\frac32$。$t=\frac32$ は定義域内なので最小値は実際に達成される。