1東京科学大学 2026年 数学 第1問解答・解説

高さごとの正方形断面を積分し、体積をa,b,hで表す。各条件を代入して微分する。存在証明では連続性と端点比較を使う。

$d=b-a\geqq0$ とおく。高さ $z$ の水平断面は一辺 $a+\frac{d}{h}z$ の正方形だから
$$V=\int_0^h\left(a+\frac{d}{h}z\right)^2dz =\frac h3(a^2+ab+b^2).$$
また $AA'=\sqrt{d^2+h^2}=1-a$ より $0<a<1$ である。

(1) $a=b$ なら $d=0$, $h=1-a$ なので $V=a^2(1-a)$。導関数は $a(2-3a)$ であり、$0<a<1$ では $a=\frac23$ で最大となる。最大値は
$$V=\left(\frac23\right)^2\left(1-\frac23\right)=\frac4{27}.$$

(2) 条件より $d=b-a=\frac12(1-a)$ だから
$$h=\sqrt{(1-a)^2-d^2}=\frac{\sqrt3}{2}(1-a),\qquad b=\frac{1+a}{2}.$$
体積は
$$V=\frac{\sqrt3}{24}(1-a)(7a^2+4a+1) =\frac{\sqrt3}{24}(-7a^3+3a^2+3a+1).$$
その導関数は $\frac{\sqrt3}{24}(-21a^2+6a+3)$ である。$0<a<1$ にある停留点は
$$a=\frac{1+2\sqrt2}{7}$$
だけで、導関数はこの点の前で正、後で負となる。よってこの値で $V$ が最大となる。

(3) $d=k(1-a)$ なので
$$h=(1-a)\sqrt{1-k^2}.$$
正の高さをもつには $0\leqq k<1$ が必要であり、以後この実現可能な範囲を考える。$w=1-a$ とおくと $0<w<1$ で
$$V=\frac{\sqrt{1-k^2}}3F(w),\qquad F(w)=3w+(-6+3k)w^2+(3-3k+k^2)w^3.$$
この式は $w=0,1$ を含む$0\leqq w\leqq1$ の範囲で連続であるので、そこで最大値をとる。両端では、$a=1$ のとき $V=0$、$a=0$ のとき $V=\frac{k^2\sqrt{1-k^2}}3$ である。$k=0$ なら両端値は0で、$0<a<1$ では $V>0$ だから端点は最大点ではない。$0<k<1$ なら
$$\left.\frac{dV}{da}\right|_{a=0} =-\frac{\sqrt{1-k^2}}3F'(1) =k(1-k)\sqrt{1-k^2}>0,$$
よって $a=0$ から少し増やすと体積は増加し、$a=0$ は最大点ではない。$a=1$ でも体積は0であり、内点では正なので最大点ではない。従って閉区間での最大点は必ず内部 $0<a<1$ にあり、もとの範囲で $V$ は最大値を持つ。$k\geqq1$ では $h>0$ を満たす立体が存在しないため、問題の前提に合う場合はこの範囲から除かれる。