5新潟大学 2025年 数学 第5問解答・解説

(1)

$iz^{2}=2$ は $z^{2}=-2i$ と同値であり、$(1-i)^{2}=-2i$ なので、平方根は $\pm(1-i)$。

(2)

$z\neq 0$ として $z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)$（$\rho>0$）と書くと、
$$iz^{2}=\rho^{2}\left\{\cos\left(2\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(2\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)\right\}$$
正の実数となるには $2\theta+\dfrac{\pi}{2}\equiv 0\pmod{2\pi}$。
$0\leqq\theta<2\pi$ の範囲で、$\theta=\dfrac{3\pi}{4},\,\dfrac{7\pi}{4}$ となる。

(3)

$z=x+iy$ とおくと、$iz^{2}=-2xy+i(x^{2}-y^{2})$。
実数条件より $y=\pm x$。
非負条件を満たすのは $y=-x$ であり（$y=x$ では原点だけ）、$iz^{2}=2x^{2}\leqq 2$ だから $-1\leqq x\leqq 1$。
したがって、$S$ は端点 $-1+i$、$1-i$ を結ぶ閉線分（原点を含む）である。

(4)

$z=t(1-i)$、$-1\leqq t\leqq 1$ とおく。
$z+2$ の共役を分母と分子に掛けて整理すると、$\dfrac{z}{z+2}$ の実部は $F(t)=\dfrac{t^{2}+t}{t^{2}+2t+2}$ となる。
分母は常に正で、$F'(t)=\dfrac{t^{2}+4t+2}{(t^{2}+2t+2)^{2}}$。
区間内の停留点は $t=-2+\sqrt{2}$ だけで、その前後で導関数は負から正へ変わる。
よってそこが最小で、$F(-2+\sqrt{2})=\dfrac{1-\sqrt{2}}{2}$。