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新潟大学／2024年度／前期

2新潟大学 2024年 数学 第2問解答・解説

1問題

新潟大学2024年度第2問
座標平面の原点をO O とし、33 点A\mathrm{A}、(−2, 0)(-2,\,0)、B\mathrm{B}、(cos⁡θ,sin⁡θ)、(\cos \theta ,\sin \theta )\text{、} CC (3cos⁡3θ,3sin⁡3θ)(3\cos 3\theta ,3\sin 3\theta )をとる。ただし、0≦θ≦2π30\leqq \theta \leqq \frac{2\pi }{3} とする。次の問いに答えよ。

(1) AB2{AB}^{2} とBC2 {BC}^{2} をcos⁡θ \cos \theta を用いて表せ。

(2) 0≦θ≦2π30\leqq \theta \leqq \frac{2\pi }{3} のとき、AB2+BC2{AB}^{2}+{BC}^{2} の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの点B B と点C C の座標をそれぞれ求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    AB2=5+4cos⁡θAB^2=5+4\cos\theta、BC2=16−12cos⁡2θBC^2=16-12\cos^2\theta。
  • (2)
    最大値は643\frac{64}3：B=(16,356),C=(−139,−4359)B=(\frac16,\frac{\sqrt{35}}6),C=(-\frac{13}9,-\frac{4\sqrt{35}}9)。最小値は1313：B=(1,0),C=(3,0)B=(1,0),C=(3,0)。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1)

AB2=(cos⁡θ+2)2+sin⁡2θ=5+4cos⁡θAB^2=(\cos\theta+2)^2+\sin^2\theta=5+4\cos\thetaである。
BC2=∣3(cos⁡3θ,sin⁡3θ)−(cos⁡θ,sin⁡θ)∣2=10−6cos⁡2θ=16−12cos⁡2θBC^2=|3(\cos3\theta,\sin3\theta)-(\cos\theta,\sin\theta)|^2=10-6\cos2\theta=16-12\cos^2\thetaである。

(2)

u=cos⁡θu=\cos\thetaとおくと、0≦θ≦2π30\leqq\theta\leqq\frac{2\pi}3より−12≦u≦1-\frac12\leqq u\leqq1である。
和は21+4u−12u2=643−12(u−16)221+4u-12u^2=\frac{64}3-12(u-\frac16)^2だから、u=16u=\frac16で最大値643\frac{64}3をとる。sin⁡θ≧0\sin\theta\geqq0より、B=(16,356)B=(\frac16,\frac{\sqrt{35}}6)である。
三倍角からcos⁡3θ=4u3−3u=−1327\cos3\theta=4u^3-3u=-\frac{13}{27}、sin⁡3θ=sin⁡θ(4u2−1)=−43527\sin3\theta=\sin\theta(4u^2-1)=-\frac{4\sqrt{35}}{27}なので、C=(−139,−4359)C=(-\frac{13}9,-\frac{4\sqrt{35}}9)である。
最小値は端点を比較し、u=−12u=-\frac12で1616、u=1u=1で1313だから、u=1,θ=0u=1,\theta=0で最小値1313をとり、B=(1,0),C=(3,0)B=(1,0),C=(3,0)である。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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