1新潟大学 2022年 数学 第1問解答・解説

(1)

$\frac\pi{12}=\frac\pi4-\frac\pi6$、$\frac{5\pi}{12}=\frac\pi4+\frac\pi6$ として加法定理を用いる。
例えば $\sin(\frac\pi4-\frac\pi6)=\frac{\sqrt2}2\frac{\sqrt3}2-\frac{\sqrt2}2\frac12=\frac{\sqrt6-\sqrt2}4$ である。残りも同様に、または余角関係から得られる。

(2)

$OAPB$ は対角線 $OP$ によって $\triangle OAP$ と $\triangle OPB$ に分かれる。
各面積は $\frac12\times\frac12\sin\theta$、$\frac12\times\frac34\cos\theta$ なので、和は $S=\frac{\sin\theta}4+\frac{3\cos\theta}8$ である。
$\theta$ の範囲で凸四角形となり、両三角形は重ならない。

(3)

$2\sin\theta+3\cos\theta=\sqrt{13}\cos(\theta-\varphi)$ と合成する。ただし $0<\varphi<\frac\pi2$、$\tan\varphi=\frac23$ である。
$\tan\frac\pi{12}=2-\sqrt3<\frac23<2+\sqrt3=\tan\frac{5\pi}{12}$ なので、$\varphi$ は区間内にある。よって最大値は $\frac{\sqrt{13}}8$、$\theta=\varphi$ で達成する。
最小値は区間の端点を比較する。$S(\frac\pi{12})=\frac{5\sqrt6+\sqrt2}{32}$、$S(\frac{5\pi}{12})=\frac{5\sqrt6-\sqrt2}{32}$ なので、後者が小さく、最小となる。