3日本大学 2025年 数学 第3問解答・解説

(1)

与えられた等式を $x$ で微分する。
右辺の導関数は $\frac{1+\frac x{\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}=\frac1{\sqrt{1+x^2}}$。
左辺は微積分の基本定理から $f(x)$ なので、結論となる。

(2)

$f'(x)=-\frac x{(1+x^2)^{\frac32}}$、$f''(x)=\frac{2x^2-1}{(1+x^2)^{\frac52}}$。
$x\geqq0$ では $x=\frac1{\sqrt2}$ で $f''$ の符号が負から正へ変わるので、変曲点である。
与えられた積分等式を $x_0$ に適用すると、
$$\int_0^{x_0}f(x)\,dx=\log\left(x_0+\sqrt{1+x_0^2}\right)=\log\frac{1+\sqrt3}{\sqrt2}。$$

(3)

$x$ 軸から曲線までの縦線分を $y$ 軸回りに回す円筒殻を用いる。
半径 $x$、高さ $f(x)$ の殻を積分すると、
$$\begin{aligned} V&=2\pi\int_0^{\frac1{\sqrt2}}\frac x{\sqrt{1+x^2}}\,dx\\ &=2\pi\left[\sqrt{1+x^2}\right]_0^{\frac1{\sqrt2}}\\ &=2\pi\left(\sqrt{\frac32}-1\right)=\pi(\sqrt6-2)。 \end{aligned}$$$$V=2\pi {\int }_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx$$$$=2\pi {\left[\sqrt{1+x^2}\right]}_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}}$$$$=2\pi \left(\sqrt{\frac{3}{2}}-1\right)=\pi (\sqrt{6}-2)。$$