1日本大学 2025年 数学 第1問解答・解説

(1)

$-1\leqq x\leqq0$ では $x+|x|+2=2$、$0\leqq x\leqq2$ では $2x+2$。積分は $4+\int_0^2(2x+2)^2\,dx=4+\frac43[(x+1)^3]_0^2=4+\frac{104}3=\frac{116}3$。

(2)

原始関数は $\frac{e^{2x}}2$。上端は $\log2$、下端は $1$ なので、$\frac{e^{2\log2}-e^2}2=\frac{4-e^2}2$。$\log2<1$ なので、積分値が負であることとも一致する。

(3)

$\sin^2x=\frac{1-\cos2x}2$ を用いると、$\left[\frac x2-\frac{\sin2x}4\right]_0^{\frac\pi6}=\frac\pi{12}-\frac{\sqrt3}8$。

(4)

$x=3\tan\theta$ と置換すると、$\theta$ は $0$ から $\frac\pi4$ まで動き、$\frac{dx}{x^2+9}=\frac13\,d\theta$。よって、積分は $\frac\pi{12}$。