4奈良県立医科大学 2023年 数学 第4問解答・解説

(1)

平方数 $k^2$ の貪欲分解は一項なので $l(k^2)=1$。$k\geqq2$ のとき $(k-1)^2<k^2-1<k^2$ であり、$k^2-1$ は平方数でない。したがってその分解は二項以上、$l(k^2-1)\geqq2$。

(2)

$m$ について強い帰納法を用いる。$m=2$ では $l(2)=2,l(1)=1$。$m$ が平方数なら(1)による。
平方数でなければ $k=[\sqrt m]=[\sqrt{m-1}],r=m-k^2$ とおくと $1\leqq r\leqq2k,r<m$。便宜上 $l(0)=0$ と置けば $l(m)=1+l(r),l(m-1)=1+l(r-1)$。
$r=1$ なら $l(r)=1\ne0$、$r\geqq2$ なら帰納法の仮定で $l(r)\ne l(r-1)$。よって求める不等式が成り立つ。

(3)

$l(m)=j$ となる最小の $m$ を $M_j$ とする。$M_1=1$。$j\geqq2$ について $m=k^2+r$（$k=[\sqrt m]$）と書けば $1\leqq r\leqq2k,l(r)=j-1$ である。
したがって $r\geqq M_{j-1}$ より $k\geqq\dfrac{M_{j-1}}2$ である。$k$ は整数なので $k\geqq k_{0}$ となる。ここで $k_{0}$ は $\dfrac{M_{j-1}}2$ 以上の最小の整数（$\dfrac{M_{j-1}}2$ を切り上げた整数）とする。よって
$$m\geqq k_{0}^{2}+M_{j-1}.$$
逆に $r=M_{j-1}$、$k=k_{0}$ と置けば、$r\leqq2k$ より $k^2\leqq k^2+r<(k+1)^2$ となり、等号の値が実現する。よって
$$M_j=k_{0}^{2}+M_{j-1}.$$
順に $M_1=1,M_2=2,M_3=3,M_4=7,M_5=23,M_6=167,M_7=84^2+167=7223$。