2奈良県立医科大学 2023年 数学 第2問解答・解説

整数$\hspace{.2em}k\hspace{.2em} \text{（}\hspace{.2em}\geqq 2\hspace{.2em}\text{）}$を一つ固定する。正整数$\hspace{.2em}n\hspace{.2em}$に対して、$k\hspace{.2em}$次の方程式

${(E)}_{n}\text{：}{x}^{k}+n\,{x}^{k-1}-(n+2)=0$

を与える。

(1)　すべての正整数$\hspace{.2em}n\hspace{.2em}$に対して、方程式$\hspace{.2em}{(E)}_{n}\hspace{.2em}$は正の解をただ一つしか持たないことを証明せよ。

(2)　各正整数$\hspace{.2em}n\hspace{.2em}$に対して、(1)における正の解を$\hspace{.2em}{a}_{n}\hspace{.2em}$とおく。$n\to \infty \hspace{.2em}$のとき数列$\hspace{.2em}{\{{a}_{n}\}}_{n=1,2,\cdots }\hspace{.2em}$は収束することを示し、その極限値を求めよ。