1奈良県立医科大学 2023年 数学 第1問解答・解説

(1)

直線を楕円に代入して分母を払うと
$$(b^2+a^2m^2)x^2+2a^2mtx+a^2(t^2-b^2)=0.$$
二次係数は正。判別式は $4a^2b^2(a^2m^2+b^2-t^2)$ なので、相異なる2実根をもつ条件は $t^2<a^2m^2+b^2$。
$x$ の2根は直線上の相異なる2点と一対一に対応するため必要十分。

(2)

中点を $M(X,Y)$ とする。交点 $x$ 座標の和を解と係数の関係から求めると $X=-\frac{a^2mt}{b^2+a^2m^2}$。
また $M$ も元の直線上なので $Y=mX+t=\frac{b^2t}{b^2+a^2m^2}$。
したがって $b^2X+a^2mY=0$ であり、$t$ に依存しない直線にのる。$m=0$ でも式は $X=0$ となって $y$ 軸を表し、例外なく成り立つ。