3奈良県立医科大学 2023年 数学 第3問解答・解説

実数$\hspace{.2em}a\hspace{.2em}$に対して以下の条件(G)を考える。

・条件(G)：不等式$\hspace{.2em}\lceil 3\,x\,y\,z\rceil <{x}^{3}+{y}^{3}+{z}^{3}+a\hspace{.2em}$が任意の正の実数$\hspace{.2em}x\hspace{.2em}\text{、} y\hspace{.2em}\text{、} z\hspace{.2em}$に対して成り立つ。（ただし実数$\hspace{.2em}r\hspace{.2em}$に対して$\hspace{.2em}\lceil r\rceil$は$\hspace{.2em}r\hspace{.2em}$以上の整数の中で最小のものを表す。）

(1)　$a\geqq 1\hspace{.2em}$ならば、$a\hspace{.2em}$は条件(G)を満たすことを証明せよ。

(2)　条件(G)を満たす実数$\hspace{.2em}a\hspace{.2em}$の中で、$a=1\hspace{.2em}$は最小であることを証明せよ。