4奈良県立医科大学 2022年 数学 第4問解答・解説

(1)

条件 $1-P(x)^{2}=Q(x)^{2}(1-x^{2})$ の両辺を微分すると
$$-2P(x)P'(x)=2Q(x)Q'(x)(1-x^{2})-2xQ(x)^{2}.$$
したがって $P(x)P'(x)=Q(x)\{xQ(x)-(1-x^{2})Q'(x)\}$ となり、括弧の中は整式だから $P(x)P'(x)$ は $Q(x)$ で割り切れる。

(2)

条件を $P(x)^{2}+(1-x^{2})Q(x)^{2}=1$ と書き、両辺に $P'(x)$ を掛けると
$$P'(x)=P(x)\{P(x)P'(x)\}+(1-x^{2})Q(x)^{2}P'(x).$$
右辺の第1項は(1)から $Q(x)$ で割り切れ、第2項も $Q(x)$ を因数に持つ。したがって左辺の $P'(x)$ も $Q(x)$ で割り切れる。

(3)

$P(x)$、$Q(x)$ は零でない。条件 $P(x)^{2}=(x^{2}-1)Q(x)^{2}+1$ から $P(x)$ は定数ではなく、$P(x)$ の次数を $m$（$m\geqq1$）、$Q(x)$ の次数を $l$（$l\geqq0$）とおけば $2m=2l+2$、すなわち $m=l+1$ である。
$P(x)$、$Q(x)$ の最高次の係数を $p$、$q$ とすると $p^{2}=q^{2}$ なので $\dfrac{p}{q}=\pm1$。
(2) より $\dfrac{P'(x)}{Q(x)}$ は整式で、その次数は $(m-1)-l=0$ だから定数である。この定数は最高次の係数の比 $\dfrac{mp}{q}=\pm m$ であり、整数 $n$ と表せる。