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奈良県立医科大学／2022年度／後期

2奈良県立医科大学 2022年 数学 第2問解答・解説

1問題

奈良県立医科大学2022年度第2問
p 、p\,\text{、} q 、q\,\text{、} r 、r\,\text{、} s s\,は ps−qr=1 \,ps-qr=1\,を満たす実数定数とする。xyz xyz\,空間上の二つのベクトル a⃗ 、\,\vec{a}\,\text{、} b⃗ \vec{b}\,は関係式

∣pa→+qb→∣=1 、|p\overset{→}{a}+q\overset{→}{b}|=1\,\text{、} ∣ra→+sb→∣=1|r\overset{→}{a}+s\overset{→}{b}|=1

を同時に満たしながら変化しているものとする。

(1)　ベクトル u→ 、\,\overset{→}{u}\,\text{、} v→ \overset{→}{v}\,を次のように定める。

u→=pa→+qb→ 、\overset{→}{u}=p\overset{→}{a}+q\overset{→}{b}\,\text{、} v→=ra→+sb→ 。\overset{→}{v}=r\overset{→}{a}+s\overset{→}{b}\,\text{。}

このとき a→ 、\,\overset{→}{a}\,\text{、} b→ \overset{→}{b}\,を u→ 、\,\overset{→}{u}\,\text{、} v→ \overset{→}{v}\,を用いて表示せよ。

(2)　∣a→−b→∣|\overset{→}{a}-\overset{→}{b}|の最大値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    a⃗=su⃗−qv⃗\vec a=s\vec u-q\vec v、b⃗=−ru⃗+pv⃗\vec b=-r\vec u+p\vec v。
  • (2)
    最大値は ∣r+s∣+∣p+q∣|r+s|+|p+q|。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1)

su⃗−qv⃗=(ps−qr)a⃗=a⃗,−ru⃗+pv⃗=(ps−qr)b⃗=b⃗.s\vec u-q\vec v=(ps-qr)\vec a=\vec a,\qquad-r\vec u+p\vec v=(ps-qr)\vec b=\vec b.

条件 ps−qr=1ps-qr=1 を用いた。

(2)

(1)から a⃗−b⃗=(r+s)u⃗−(p+q)v⃗\vec a-\vec b=(r+s)\vec u-(p+q)\vec v。∣u⃗∣=∣v⃗∣=1|\vec u|=|\vec v|=1 なので、三角不等式により∣a⃗−b⃗∣≦∣r+s∣+∣p+q∣.|\vec a-\vec b|\leqq|r+s|+|p+q|.

2つの係数がともに0でないなら、任意の単位ベクトル e⃗\vec e を用いて、r+s>0r+s>0 のとき u⃗=e⃗\vec u=\vec e、r+s<0r+s<0 のとき u⃗=−e⃗\vec u=-\vec e、p+q>0p+q>0 のとき v⃗=−e⃗\vec v=-\vec e、p+q<0p+q<0 のとき v⃗=e⃗\vec v=\vec e と取れば等号である。一方の係数が0なら、他方だけで常にその長さとなる。任意の単位 u⃗,v⃗\vec u,\vec v から(1)で a⃗,b⃗\vec a,\vec b を定めれば元条件を満たすから、上界は必ず達成される。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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