白衣のものさし
医学部数学 過去問問題を探す

奈良県立医科大学／2022年度／後期

3奈良県立医科大学 2022年 数学 第3問解答・解説

1問題

奈良県立医科大学2022年度第3問
1 1\,より大きい二つの正整数 a 、\,a\,\text{、} b b\,は互いに素とする。

(1)　0<k<b 0<k<b\,を満たす任意の正整数 k \,k\,に対して、等式

[kab]+[(b−k)ab]=a−1[\frac{ka}{b}]+[\frac{(b-k)a}{b}]=a-1

成り立つことを証明せよ。但し、実数 r \,r\,に対して [r]\,[r]は r \,r\,を越えない最大の整数を表す。

(2)　等式

∑k=1b−1[kab]=(a−1)(b−1)2{∑}_{k=1}^{b-1}[\frac{ka}{b}]=\frac{(a−1)(b−1)}{2}

が成り立つことを証明せよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    [kab]+[(b−k)ab]=a−1\left[\frac{ka}b\right]+\left[\frac{(b-k)a}b\right]=a-1。
  • (2)
    ∑k=1b−1[kab]=(a−1)(b−1)2\sum_{k=1}^{b-1}\left[\frac{ka}b\right]=\frac{(a-1)(b-1)}2。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1)

1≦k≦b−11\leqq k\leqq b-1 で a,ba,b が互いに素だから bb は kaka を割り切らず、kab\frac{ka}b は整数でない。kab=m+u\frac{ka}b=m+u（mm は整数、0<u<10<u<1）と書くと(b−k)ab=a−m−u=(a−m−1)+(1−u).\frac{(b-k)a}b=a-m-u=(a-m-1)+(1-u).したがって2つの床は mm と a−m−1a-m-1 で、和は a−1a-1。

(2)

(1)を k=1,⋯ ,b−1k=1,\cdots,b-1 で足す。第2の和は添字 j=b−kj=b-k により第1の和と等しい。したがって和を TT とすれば 2T=(a−1)(b−1)2T=(a-1)(b-1)、両辺を2で割って結論を得る。bb が偶数で k=b2k=\frac b2 となる場合も同じ加算で正しく扱われる。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

奈良県立医科大学の数学を、過去 10 年分まとめて解けるものがあったら使いたいですか？

次にやること

同じ年度の次の問題第4問へ進む

奈良県立医科大学のほかの年度

20232023後期2023推薦2022