／ 2022 年度／ 後期
1 奈良県立医科大学 2022年 数学 第1問解答・解説
1 問題2 答え3 解答1 問題奈良県立医科大学 2022 年度第1問
関数
f n ( x ) \,{f}_{n}(x) f n ( x ) （ n = 0 、 \text{（}\,n=0\,\text{、} （ n = 0 、 1 、 1\,\text{、} 1 、 ⋯ ） \cdots\,\text{）} ⋯ ） を以下で定める。
f n ( x ) = ∫ 0 x ( t − x ) 2 n ( 2 n ) ! cos ( t ) d t 。 {f}_{n}(x)={∫}_{0}^{x}\frac{{(t-x)}^{2n}}{(2n)!}\cos (t)dt\,\text{。} f n ( x ) = ∫ 0 x ( 2 n )! ( t − x ) 2 n cos ( t ) d t 。 ただし、
0 ! = 1 0!=1\, 0 ! = 1 とする。
(1)
n > 0 n>0\, n > 0 のとき、
f n ( x ) {f}_{n}(x) f n ( x ) と
f n − 1 ( x ) \,{f}_{n-1}(x) f n − 1 ( x ) との関係式を求めよ。
(2)
n > 0 n>0\, n > 0 に対して、等式
sin ( x ) = ∑ k = 1 n ( − 1 ) k − 1 x 2 k − 1 ( 2 k − 1 ) ! \sin (x)={∑}_{k=1}^{n}\frac{{(−1)}^{k-1}{x}^{2k-1}}{(2k-1)!}\, sin ( x ) = ∑ k = 1 n ( 2 k − 1 )! ( − 1 ) k − 1 x 2 k − 1 − ( − 1 ) n − 1 f n ( x ) -{(-1)}^{n-1}{f}_{n}(x) − ( − 1 ) n − 1 f n ( x ) が成り立つことを証明せよ。
まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。
2 答え答えを見る 自分の答えと照らし合わせる (1) f n ( x ) + f n − 1 ( x ) = x 2 n − 1 ( 2 n − 1 ) ! f_n(x)+f_{n-1}(x)=\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} f n ( x ) + f n − 1 ( x ) = ( 2 n − 1 )! x 2 n − 1 。
(2) sin x = ∑ k = 1 n ( − 1 ) k − 1 x 2 k − 1 ( 2 k − 1 ) ! − ( − 1 ) n − 1 f n ( x ) \sin x=\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k-1}x^{2k-1}}{(2k-1)!}-(-1)^{n-1}f_n(x) sin x = ∑ k = 1 n ( 2 k − 1 )! ( − 1 ) k − 1 x 2 k − 1 − ( − 1 ) n − 1 f n ( x ) 。
3 解答解答を見る 途中式つきの解答 解答 (1)
n > 0 n>0 n > 0 で
t t t について2回部分積分する。1回目は
f n = [ ( t − x ) 2 n sin t ( 2 n ) ! ] 0 x − ∫ 0 x ( t − x ) 2 n − 1 sin t ( 2 n − 1 ) ! d t f_n=\left[\frac{(t-x)^{2n}\sin t}{(2n)!}\right]_0^x-\int_0^x\frac{(t-x)^{2n-1}\sin t}{(2n-1)!}\,dt f n = [ ( 2 n )! ( t − x ) 2 n sin t ] 0 x − ∫ 0 x ( 2 n − 1 )! ( t − x ) 2 n − 1 sin t d t で境界項は0。2回目には
sin t = − ( cos t ) ′ \sin t=-(\cos t)\prime sin t = − ( cos t ) ′ を用い、残る境界項と積分を計算すると
f n = x 2 n − 1 ( 2 n − 1 ) ! − ∫ 0 x ( t − x ) 2 n − 2 cos t ( 2 n − 2 ) ! d t = x 2 n − 1 ( 2 n − 1 ) ! − f n − 1 . \begin{aligned}f_n&=\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}-\int_0^x\frac{(t-x)^{2n-2}\cos t}{(2n-2)!}\,dt\\&=\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}-f_{n-1}.\end{aligned} f n = ( 2 n − 1 )! x 2 n − 1 − ∫ 0 x ( 2 n − 2 )! ( t − x ) 2 n − 2 cos t d t = ( 2 n − 1 )! x 2 n − 1 − f n − 1 . f n = ( 2 n − 1 )! x 2 n − 1 − ∫ 0 x ( 2 n − 2 )! ( t − x ) 2 n − 2 cos t d t = ( 2 n − 1 )! x 2 n − 1 − f n − 1 . これは
x x x の正負によらず向き付き定積分として成立する。
(2)
f 0 ( x ) = ∫ 0 x cos t d t = sin x f_0(x)=\int_0^x\cos t\,dt=\sin x f 0 ( x ) = ∫ 0 x cos t d t = sin x 。(1)を
f k − 1 = x 2 k − 1 ( 2 k − 1 ) ! − f k f_{k-1}=\frac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}-f_k f k − 1 = ( 2 k − 1 )! x 2 k − 1 − f k と書き、
k = 1 k=1 k = 1 から順に代入すると
f 0 = x − x 3 3 ! + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 x 2 n − 1 ( 2 n − 1 ) ! + ( − 1 ) n f n . f_0=x-\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{(-1)^{n-1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}+(-1)^nf_n. f 0 = x − 3 ! x 3 + ⋯ + ( 2 n − 1 )! ( − 1 ) n − 1 x 2 n − 1 + ( − 1 ) n f n . この最後の項は
− ( − 1 ) n − 1 f n -(-1)^{n-1}f_n − ( − 1 ) n − 1 f n に等しいので所定の式となる。帰納法で見ると、
n n n から
n + 1 n+1 n + 1 へは最後の
f n f_n f n に(1)を代入するだけで証明できる。
読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。
答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせ から教えてください。
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