4金沢医科大学 2024年 数学 第4問解答・解説

図のような、1辺の長さが2の正四面体 $\mathrm{OABC}$ において、線分 $\mathrm{BC}$ の中点を $D$ とする。$\triangle\mathrm{ABC}$ の重心を $G_{1}$ とするとき、$\overrightarrow{\mathrm{OG}_{1}}=\dfrac{\boxed{\text{き}}}{\boxed{\text{く}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\dfrac{\boxed{\text{け}}}{\boxed{\text{こ}}}\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ である。また、線分 $\mathrm{AB}$、$\mathrm{AC}$ の中点をそれぞれ $E$、$F$ とし、$\triangle\mathrm{AEF}$ の重心を $G_{2}$ とするとき、$\overrightarrow{\mathrm{OG}_{2}}=\dfrac{\boxed{\text{さ}}}{\boxed{\text{し}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\dfrac{\boxed{\text{す}}}{\boxed{\text{せ}}}\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ である。

次に、$\triangle\mathrm{AEF}$ を1つの面とする正四面体 $\mathrm{KAEF}$ を考える。ただし、頂点 $K$ は平面 $\mathrm{ABC}$ に関して、頂点 $O$ と反対側にあるものとする。直線 $\mathrm{OK}$ と平面 $\mathrm{ABC}$ の交点を $S$ とするとき、$\overrightarrow{\mathrm{OS}}=\dfrac{\boxed{\text{そ}}}{\boxed{\text{た}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\dfrac{\boxed{\text{ち}}}{\boxed{\text{つ}}}\overrightarrow{\mathrm{OD}}$、$\overrightarrow{\mathrm{OK}}=\dfrac{\boxed{\text{て}}}{\boxed{\text{と}}}\overrightarrow{\mathrm{OS}}$ である。

また、線分 $\mathrm{EF}$ の中点を $H$ とするとき、$\overrightarrow{\mathrm{SH}}=\dfrac{\boxed{\text{な}}}{\boxed{\text{にぬ}}}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ であり、$\triangle\mathrm{HKS}$ の面積は $\dfrac{\sqrt{\boxed{\text{ね}}}}{\boxed{\text{のは}}}$ である。

さらに、直線 $\mathrm{AK}$ と平面 $\mathrm{OBC}$ の交点を $T$ とするとき、$\overrightarrow{\mathrm{OT}}=\boxed{\text{み}}\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ であり、$\triangle\mathrm{OAT}$ の面積は $\boxed{\text{む}}\sqrt{\boxed{\text{め}}}$ である。