2金沢医科大学 2024年 数学 第2問解答・解説

ソ〜ノ

直角三角形 $BCD$ より $BD=\sqrt{4^2+3^2}=5$。$AB^2=13^2=12^2+5^2=AD^2+BD^2$ なので $AD\perp BD$。
図の凸四角形に合わせ $C=(0,0),B=(4,0),D=(0,3)$ と置くと $A=D+\frac{12}{5}(3,4)=(\frac{36}{5},\frac{63}{5})$。
$\overrightarrow{BA}=(\frac{16}{5},\frac{63}{5}),\overrightarrow{BC}=(-4,0)$ なので $\cos\angle ABC=-\frac{16}{65}$。
$AC=\frac{\sqrt{36^2+63^2}}5=\frac{9\sqrt{65}}5$。$\overrightarrow{DA}=(\frac{36}{5},\frac{48}{5}),\overrightarrow{DC}=(0,-3)$ より $\cos\angle ADC=-\frac45$。
空欄はソ $5$、タチ $16$、ツテ $65$、ト $9$、ナニ $65$、ヌ $5$、ネ $4$、ノ $5$。

ハ〜ヤ

$AC$ は $y=\frac74x$、$BD$ は $3x+4y=12$。連立して $E=(\frac65,\frac{21}{10})=\frac16A$、したがって $AE=\frac56AC=\frac{3\sqrt{65}}2$。
$BD$ 上では $E=B+\frac7{10}(D-B)$ なので $BE=\frac72,ED=\frac32$。
$\overrightarrow{EA}=(6,\frac{21}{2})$、$\overrightarrow{ED}=(-\frac65,\frac9{10})$ だから
$$\overrightarrow{EA}\cdot\overrightarrow{ED} =-\frac{36}{5}+\frac{189}{20}=\frac94.$$
よって内積の定義より
$$\cos\angle AED=\frac{\frac94}{\frac{3\sqrt{65}}2\cdot\frac32}=\frac1{\sqrt{65}}.$$
$0<\angle AED<\pi$ なので正の平方根をとり、
$$\sin\angle AED=\sqrt{1-\frac1{65}}=\frac8{\sqrt{65}}=\frac{8\sqrt{65}}{65}.$$
ハ $3$、ヒフ $65$、ヘ $2$、ホ $7$、マ $2$、ミ $8$、ムメ $65$、モヤ $65$。

ユヨ・ラ

交点 $E$ における角の正弦は4つの三角形ですべて同じ。面積は $AE\cdot BE,CE\cdot BE,CE\cdot DE,AE\cdot DE$ に比例する。
$AE:CE=5:1,BE:DE=7:3$ なので面積比は $35:7:3:15$。最大は $ABE$、最小は $CDE$ で比は $\frac{35}{3}$。ユヨ $35$、ラ $3$。