4金沢医科大学 2023年 数学 第4問解答・解説

G₁と三角形G₁ABの面積

$\vec a=\overrightarrow{OA}$、$\vec b=\overrightarrow{OB}$、$\vec c=\overrightarrow{OC}$ と置く。直柱なので $\overrightarrow{OC}=\vec c$、$\overrightarrow{OD}=\vec a+\vec c$、$\overrightarrow{OE}=\vec b+\vec c$ であり、重心は $\overrightarrow{OG_1}=\frac{\vec a+\vec b}3+\vec c$。
$|\vec a+\vec b|^2=4+4+2\cdot4\cos120^\circ=4$、$|\vec a-\vec b|=2\sqrt3$。また $(\vec a+\vec b)\cdot(\vec a-\vec b)=0$。$AB$ の中点 $H$ について $\overrightarrow{OH}=\frac{\vec a+\vec b}2$ を用いると $\overrightarrow{HG_1}=-\frac{\vec a+\vec b}6+\vec c$ は $AB$ に垂直で、$\vec c$ も底面に垂直。
従って高さ $G_1H=\sqrt{\frac4{36}+4}=\frac{\sqrt{37}}3$、面積は $\frac12\cdot2\sqrt3\cdot\frac{\sqrt{37}}3=\frac{\sqrt{111}}3$。

G₂の表示と長さ

$G_2$ は $G_1,A,B$ の重心なので $\overrightarrow{OG_2}=\frac{\overrightarrow{OG_1}+\vec a+\vec b}3=\frac49(\vec a+\vec b)+\frac13\vec c$。
$\vec c\perp(\vec a+\vec b)$、各長さが $2$ であるから、$OG_2^2=\frac{16}{81}\cdot4+\frac19\cdot4=\frac{100}{81}$。従って長さ $\frac{10}9$。

Kの位置と四面体体積

平面 $ABED$ 上の点の位置ベクトルは $\lambda\vec a+\mu\vec b+\nu\vec c$ で $\lambda+\mu=1$ を満たす。直線 $OG_2$ 上の点の位置ベクトル $t\overrightarrow{OG_2}$ では $\lambda=\mu=\frac{4t}9$ なので、$\frac{8t}9=1$ から $t=\frac98$。
$K$ の $\vec c$ 成分係数は $\frac t3=\frac38$。従って底面 $OAB$ からの高さは $\frac38|\vec c|=\frac34$。
底面 $OAB$ の面積は $\frac12\cdot2\cdot2\sin120^\circ=\sqrt3$ なので、四面体 $OABK$ の体積は $\frac13\sqrt3\cdot\frac34=\frac{\sqrt3}4$。