2金沢医科大学 2023年 数学 第2問解答・解説

①の変形と最大・最小

$u=\cos\theta$ とおき、$-1\leqq u\leqq1$ の範囲で考える。$\cos3\theta=4u^{3}-3u$、$\cos2\theta=2u^{2}-1$ を用いると $y=F(u)=4u^{3}+3u^{2}-6u+1$。
$F'(u)=6(2u-1)(u+1)$ なので、$-1\leqq u\leqq\dfrac{1}{2}$ で減少、$\dfrac{1}{2}\leqq u\leqq1$ で増加する。$F(-1)=6$、$F\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{3}{4}$、$F(1)=2$。従って最大・最小と角度は結論の通りである。
空欄サ$=4$、シ$=3$、ス$=6$、セ$=1$、ソタチ$=180$、ツ$=6$、テト$=60$、ナニヌ$=300$、ネ$=3$、ノ$=4$。

方程式の最多解数と $a$ の範囲

方程式は $2F(u)-5=a$、すなわち $F(u)=\dfrac{a+5}{2}$ である。上の増減から、$-1<u<1$ の範囲に異なる2つの解を持つのは $-\dfrac{3}{4}<\dfrac{a+5}{2}<2$ のときである。
$-1<u<1$ の各 $u$ は $0^{\circ}\leqq\theta<360^{\circ}$ の範囲の異なる2つの角に対応するから、このとき $\theta$ は4個の解をもつ。等号のときは重根または $u=1$ が生じて4個にはならない。他の水平線では $u$ の解は高々1個である。従って最多は4個で、$a$ の範囲は $-\dfrac{13}{2}<a<-1$ である。