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金沢医科大学／2023年度／後期

3金沢医科大学 2023年 数学 第3問解答・解説

1問題

金沢医科大学2023年度第3問
a1=1a_{1}=1、nan+1=2(n+1)an−3n2(n+1)na_{n+1}=2(n+1)a_{n}-3n^{2}(n+1)で定義される数列{an}\{a_{n}\}を考える。bn=annb_{n}=\dfrac{a_{n}}{n}とおくと、b1=マb_{1}=\boxed{\text{マ}}、b2=−ミb_{2}=-\boxed{\text{ミ}}、bn+1=ムbn−メnb_{n+1}=\boxed{\text{ム}}b_{n}-\boxed{\text{メ}}nである。さらに、cn=bn+1−bnc_{n}=b_{n+1}-b_{n}とおくと、c1=−モc_{1}=-\boxed{\text{モ}}、cn=ヤ−ユ⋅ヨn−1c_{n}=\boxed{\text{ヤ}}-\boxed{\text{ユ}}\cdot\boxed{\text{ヨ}}^{n-1}である。以上により、an=n(ラn+リ−ル⋅レn−1)a_{n}=n\left(\boxed{\text{ラ}}n+\boxed{\text{リ}}-\boxed{\text{ル}}\cdot\boxed{\text{レ}}^{n-1}\right)である。
保存された問題原図（掲載用の切抜き・配置は未確定）

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • 数列bₙ,cₙ,aₙ
    b1=1b_1=1、b2=−1b_2=-1、bn+1=2bn−3nb_{n+1}=2b_n-3n、c1=−2c_1=-2、cn=3−5⋅2n−1c_n=3-5\cdot2^{n-1}、an=n(3n+3−5⋅2n−1)a_n=n(3n+3-5\cdot2^{n-1})。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

数列bₙ,cₙ,aₙ

元の式を n(n+1)n(n+1) で割ると an+1n+1=2ann−3n\frac{a_{n+1}}{n+1}=\frac{2a_n}n-3n、すなわち bn+1=2bn−3nb_{n+1}=2b_n-3n。b1=1b_1=1 から b2=−1b_2=-1、c1=b2−b1=−2c_1=b_2-b_1=-2。
隣り合う bb の式の差を取ると cn+1=2cn−3c_{n+1}=2c_n-3、従って cn+1−3=2(cn−3)c_{n+1}-3=2(c_n-3)。初項 c1−3=−5c_1-3=-5 より cn=3−5⋅2n−1c_n=3-5\cdot2^{n-1}。
bn=b1+∑k=1n−1ck=1+3(n−1)−5(2n−1−1)=3n+3−5⋅2n−1b_n=b_1+\sum_{k=1}^{n-1}c_k=1+3(n-1)-5(2^{n-1}-1)=3n+3-5\cdot2^{n-1}。an=nbna_n=nb_n から結論。
空欄はマ=1=1、ミ=1=1、ム=2=2、メ=3=3、モ=2=2、ヤ=3=3、ユ=5=5、ヨ=2=2、ラ=3=3、リ=3=3、ル=5=5、レ=2=2。初項と漸化式への代入でも検算できる。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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