4金沢医科大学 2022年 数学 第4問解答・解説

(1)

原図の隣接関係に沿い、$O=(0,0,0),A=(2,0,0),C=(0,1,0),D=(0,0,2)$とおくと、$M=(0,0,1)$である。
$\overrightarrow{MA}=(2,0,-1),\overrightarrow{MC}=(0,1,-1)$なので、内積$1$、長さ$\sqrt5,\sqrt2$から余弦は$\frac1{\sqrt{10}}$である。
平面$ACM$は$\frac x2+y+z=1$、すなわち$x+2y+2z=2$なので、$O$からの距離は$\frac2{\sqrt9}=\frac23$である。

(2)

平面$ACM$の法線$(1,2,2)$上に$H=t(1,2,2)$とおくと、平面方程式より$9t=2$である。$H=(\frac29,\frac49,\frac49)$なので、答えのベクトル表示を得る。
平面$ACGE$は$\frac x2+y=1$である。$I=\lambda H$を代入すると$\frac{5\lambda}9=1$より$\lambda=\frac95$、$I=(\frac25,\frac45,\frac45)$となる。

(3)

$J=A+u(C-A)=(2-2u,u,0)$とおく。$IJ\perp AC$より、$(I-J)\cdot(C-A)=0$である。
代入すると$4-5u=0$、$u=\frac45$となる。したがって、$AJ:JC=u:(1-u)=4:1$、$J=(\frac25,\frac45,0)$である。

(4)

$CIJ$は平面$ACGE$上の直角三角形で、$IJ=\frac45,CJ=\frac{\sqrt5}5$だから、面積は$\frac{2\sqrt5}{25}$である。
平面$ACGE$の方程式は$x+2y-2=0$なので、$M$からこの平面への距離は$\frac2{\sqrt5}$である。
したがって、四面体$CIJM$の体積は$\frac13\cdot\frac{2\sqrt5}{25}\cdot\frac2{\sqrt5}=\frac4{75}$である。