3金沢医科大学 2022年 数学 第3問解答・解説

座標平面上の直線$x-2y+1=0$を$\ell$とする。$x$軸上の点$P_n(a_n,0)$を通り、$x$軸に垂直な直線と$\ell$との交点を$Q_n$とする。また、$Q_n$を通り、傾きが$\dfrac32$の直線と$x$軸との交点を$P_{n+1}(a_{n+1},0)$とする。ただし、$P_1(1,0)$とする。このとき、$a_{n+1}=\dfrac{\boxed{マ}}{\boxed{ミ}}a_n-\dfrac{\boxed{ム}}{\boxed{メ}}$が成り立つので、$a_n=\boxed{モ}\left(\dfrac{\boxed{ヤ}}{\boxed{ユ}}\right)^{n-1}-\boxed{ヨ}$である。ここで、$\triangle P_nQ_nP_{n+1}$の面積を$S_n$とするとき、$S_1=\dfrac{\boxed{ラ}}{\boxed{リ}}$であり、$\displaystyle\sum_{k=1}^nS_k=\dfrac{\boxed{ル}}{\boxed{レ}}\left\{1-\left(\dfrac{\boxed{ロ}}{\boxed{ワ}}\right)^n\right\}$である。