1金沢医科大学 2022年 数学 第1問解答・解説

(1)

初期の全組合せは${}_{7}\mathrm{C}_{2}=21$、青2個の取り出し方は${}_{3}\mathrm{C}_{2}=3$なので、$\frac3{21}=\frac17$である。

(2)

終了前は青3個が保たれ、白$w$個の状態から青2個で終了する確率は$\frac3{{}_{w+3}\mathrm{C}_{2}}$である。
1回目後に白3個となる確率は$\frac{12}{21}=\frac47$、白2個となる確率は$\frac6{21}=\frac27$である。
よって、2回目の終了確率は$\frac47\cdot\frac3{15}+\frac27\cdot\frac3{10}=\frac15$である。

(3)

2回目まで終了せず、その直後の白の数が$2,1,0$である確率は、順に$\frac47\cdot\frac9{15}=\frac{12}{35}$、$\frac47\cdot\frac3{15}+\frac27\cdot\frac6{10}=\frac27$、$\frac27\cdot\frac1{10}=\frac1{35}$である。
したがって、3回目の終了確率は$\frac{12}{35}\cdot\frac3{10}+\frac27\cdot\frac36+\frac1{35}\cdot1=\frac{48}{175}$となる。

(4)

終了しない各回は白を少なくとも1個減らすので、白4個がなくなるまで最大4回、その次の青2個の抽出で必ず終了する。
5回目まで続くには、最初の4回すべてで青白を1個ずつ引くことが必要十分である。
確率は$\frac{12}{21}\cdot\frac9{15}\cdot\frac6{10}\cdot\frac36=\frac{18}{175}$で、このとき5回目は確率$1$で終了する。