金沢医科大学 2022年数学第2問解答・解説

1問題

金沢医科大学2022年度第2問

3点

O(0,0),A(-6,-8),B(-21,0)

を頂点とする

\triangle OAB

の外接円の方程式は

x^2+y^2+\boxed{タチ}x-\dfrac{\boxed{ツテ}}{\boxed{ト}}y=0

で表され、この円の半径は

\dfrac{\boxed{ナニ}}{\boxed{ヌ}}

である。
また、

\triangle OAB

の内接円の方程式は

x^2+y^2+\boxed{ネノ}x+\boxed{ハ}y+\boxed{ヒフ}=0

で表され、この円の半径は

\dfrac{\boxed{ヘ}}{\boxed{ホ}}

である。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

外接円
タチは $21$ 、ツテは $13$ 、トは $4$ 、ナニは $85$ 、ヌは $8$ 。方程式は $x^2+y^2+21x-\frac{13}4y=0$ 、半径は $\frac{85}8$ 。
内接円
ネノは $14$ 、ハは $7$ 、ヒフは $49$ 、ヘは $7$ 、ホは $2$ 。方程式は $x^2+y^2+14x+7y+49=0$ 、半径は $\frac72$ 。

解答を見る途中式つきの解答

外接円

O

を通る円を

x^2+y^2+Dx+Ey=0

とおく。

B

を代入すると

441-21D=0

より

D=21

である。

A

を代入すると

100-126-8E=0

より

E=-\frac{13}4

である。
平方完成すると、

(x+\frac{21}2)^2+(y-\frac{13}8)^2=(\frac{85}8)^2

となる。

内接円

辺長は

OA=10,AB=17,OB=21

である。内心は対辺長を重みとした重心なので、

\frac{17O+21A+10B}{48}=(-7,-\frac72)

である。ここで各点の文字は位置ベクトルを表す。
三角形面積は

\frac{21\cdot8}2=84

、半周長は

24

だから、内接円半径は

r=\frac{84}{24}=\frac72

である。
したがって、

(x+7)^2+(y+\frac72)^2=\frac{49}4

であり、展開すると答えの式を得る。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。