5岐阜大学 2022年 数学 第5問解答・解説

(1)

$\cos t>0$ なので、$\mathrm{P}(\cos t,\,0)$ と $\mathrm{Q}(0,\,\sin t)$ を通る直線の傾きは $-\dfrac{\sin t}{\cos t}=-\tan t$ である。
したがって $y=-x\tan t+\sin t$ である。
$t=0$ の場合も $\mathrm{P}(1,\,0)$、$\mathrm{Q}(0,\,0)$ となり、式は $y=0$ を与える。

(2)

(1) の式へ $x=c$ を代入して $f(t)=\sin t-c\tan t$ である。
微分すると $f'(t)=\cos t-\dfrac{c}{\cos^{2}t}=\dfrac{\cos^{3}t-c}{\cos^{2}t}$ である。

(3)

$c=\cos^{3}\theta$ とおく。$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ では $0<c<1$ である。
(2) の導関数の分母は正であり、$\cos t$ が減少するため、$0\leqq t<\theta$ で $f'(t)>0$、$\theta<t<\dfrac{\pi}{2}$ で $f'(t)<0$ である。
したがって最大値は $t=\theta$ で達成され、$f(\theta)=\sin\theta-\cos^{3}\theta\tan\theta=\sin\theta(1-\cos^{2}\theta)=\sin^{3}\theta$ である。
$f$ は $0\leqq t<\dfrac{\pi}{2}$ で連続、$f(0)=0$、$t\to\dfrac{\pi}{2}-0$ で $f(t)\to-\infty$ だから、その値域は $f(t)\leqq\sin^{3}\theta$ の範囲である。
$t=\dfrac{\pi}{2}$ の直線は $x=0$ なので $x=c>0$ との共通点を加えない。
よって $G$ と $x=\cos^{3}\theta$ の共通部分は $\mathrm{R}(\cos^{3}\theta,\,\sin^{3}\theta)$ を上端とする下向きの半直線である。最大値を与える $t$ は一意なので $t=\theta$ である。

(4)

固定した $0<c<1$ で、点 $(c,\,f(t))$ が線分 $\mathrm{PQ}$ 上にあるための条件は $0\leqq c\leqq\cos t$ である。このとき $y=f(t)\geqq0$ である。
したがって許される $t$ は $0\leqq t\leqq\theta$ の形である。ただし、(3) の最大値を与える $t=\theta$（$\cos t=c^{\dfrac{1}{3}}$ を満たす角）はこの区間内にある。
よって $f$ は $0$ から最大値 $\sin^{3}\theta$ までのすべての値をとる。
$D$ の上側境界は $x=\cos^{3}\theta,\ y=\sin^{3}\theta$ である。両端は $\mathrm{A}(1,\,0)$、$\mathrm{B}(0,\,1)$ である。
$\dfrac{dx}{d\theta}=-3\cos^{2}\theta\sin\theta$、$\dfrac{dy}{d\theta}=3\sin^{2}\theta\cos\theta$ なので、速さは
$$\sqrt{\left(\dfrac{dx}{d\theta}\right)^{2}+\left(\dfrac{dy}{d\theta}\right)^{2}} =3\sin\theta\cos\theta\sqrt{\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta}=3\sin\theta\cos\theta.$$
したがって $l=\displaystyle\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}3\sin\theta\cos\theta\,d\theta=\dfrac{3}{2}$ である。