2岐阜大学 2022年 数学 第2問解答・解説

(1)

$\alpha,\beta$ はいずれも第 $1$ 象限の角なので三角比は正である。
$\tan\alpha=\frac43$ から直角三角形の辺の比 $3:4:5$ を用いて $\cos\alpha=\frac35$、$\sin\alpha=\frac45$ である。
同様に $\tan\beta=\frac34$ から $\cos\beta=\frac45$、$\sin\beta=\frac35$ である。

(2)

$\theta=\alpha-\beta$ なので、加法定理から
$$\cos\theta=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\frac{12}{25}+\frac{12}{25}=\frac{24}{25},$$
$$\sin\theta=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta=\frac{16}{25}-\frac9{25}=\frac7{25}.$$

(3)

$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\frac{12}{25}-\frac{12}{25}=0$ である。
$0<\alpha+\beta<\pi$ で $\cos$ が $0$ になるのは $\frac\pi2$ だけなので、$\alpha+\beta=\frac\pi2$ である。

(4)

$\tan$ は $\left(0,\frac\pi2\right)$ で狭義増加し $\frac43>\frac34$ なので $\alpha>\beta$、したがって $\theta>0$ である。
$\theta<\frac\pi2$ で $\tan\theta=\frac7{24}<1$ だから $\theta<\frac\pi4$、すなわち $0<2\theta<\frac\pi2$ である。
$$\tan2\theta=\frac{2\cdot\frac7{24}}{1-\left(\frac7{24}\right)^2}=\frac{336}{527}.$$
$\frac{336}{527}<\frac34=\tan\beta$（$4\times336=1344<1581=3\times527$）なので、$\tan$ の単調性から $2\theta<\beta$ である。

(5)

(4) より $2\theta<\beta$ なので、$5\theta<2\beta+\theta=\alpha+\beta=\frac\pi2$ である。よって $n=5$ は条件を満たす。
また $3\theta=\theta+2\theta<\theta+\beta=\alpha<\frac\pi2$ であり、
$$\tan3\theta=\frac{3\cdot\frac7{24}-\left(\frac7{24}\right)^3}{1-3\left(\frac7{24}\right)^2} =\frac{11753}{10296}>1.$$
$0<3\theta<\frac\pi2$ であることと $\tan$ の単調性より $3\theta>\frac\pi4$、すなわち $6\theta>\frac\pi2$ である。
$\theta>0$ なので $n\geqq6$ はすべて不可である。したがって最大は $5$ である。