1岐阜大学 2022年 数学 第1問解答・解説

(1)

直線 $\ell$ は $y=a(x+\sqrt2)$ である。円 $x^2+y^2=1$ に代入すると
$$(1+a^2)x^2+2\sqrt2a^2x+2a^2-1=0.$$
判別式は $(2\sqrt2a^2)^2-4(1+a^2)(2a^2-1)=4(1-a^2)$ である。
異なる $2$ 交点を持つため $1-a^2>0$ が必要十分である。$a>0$ と合わせて $0<a<1$ である。

(2)

$2$ つの根を $x_A<x_B$ とすると
$$x_A=\frac{-\sqrt2a^2-\sqrt{1-a^2}}{1+a^2},\qquad x_B=\frac{-\sqrt2a^2+\sqrt{1-a^2}}{1+a^2}.$$
よって $\Delta x=x_B-x_A=\frac{2\sqrt{1-a^2}}{1+a^2}$、$y_B-y_A=a\Delta x$ である。
両交点は $x>-\sqrt2$ にあるため $0<y_A<y_B$ であり、$E=(x_B,y_A)$ は確かに線分 $BD$ 上にある。
$AE=\Delta x$、$BE=a\Delta x$、$\angle AEB=90^\circ$ なので
$$S(a)=\frac12a(\Delta x)^2=\frac{2a(1-a^2)}{(1+a^2)^2}.$$

(3)

$S(a)=(2a-2a^3)(1+a^2)^{-2}$ を微分すると
$$S^\prime(a)=\frac{2-6a^2}{(1+a^2)^2}-\frac{4a(2a-2a^3)}{(1+a^2)^3}.$$
分子を整理して $(2-6a^2)(1+a^2)-8a^2+8a^4=2-12a^2+2a^4$ である。
したがって $S^\prime(a)=\frac{2(a^4-6a^2+1)}{(1+a^2)^3}$ である。

(4)

$$a^4-6a^2+1=(a^2-(3-2\sqrt2))(a^2-(3+2\sqrt2)).$$
$0<a<1$ では後者の因子は負であり、$3-2\sqrt2=(\sqrt2-1)^2$ だから、$S^\prime$ は $0<a<\sqrt2-1$ で正、$\sqrt2-1<a<1$ で負である。
よって範囲内の $a=\sqrt2-1$ で増加から減少に変わり、最大値を実際にもつ。
$a_0=\sqrt2-1$ は $a_0^2+2a_0-1=0$ を満たすため $1-a_0^2=2a_0$、$1+a_0^2=2\sqrt2a_0$ である。
これを代入して $S(a_0)=\frac{2a_0\cdot2a_0}{(2\sqrt2a_0)^2}=\frac12$ である。