3岐阜大学 2022年 数学 第3問解答・解説

(1)

$\log$ は自然対数として、$(\log x)^\prime=\frac1x$、$(x\log x)^\prime=\log x+1$ である。
よって $f^\prime=1-\frac1x$、$g^\prime=1-2(\log x+1)=-1-2\log x$ である。

(2)

$f^\prime(x)=\frac{x-1}x$ なので $0<x<1$ で負、$x>1$ で正である。
したがって $f$ は $x=1$ で全体の最小値をとり、$f(1)=1-0-1=0$ である。よってすべての $x>0$ で $f(x)\geqq0$ である。

(3)

$g^\prime(x)=0$ は $\log x=-\frac12$、すなわち $x=\frac1{\sqrt e}$ である。
$0<x<\frac1{\sqrt e}$ では $g^\prime>0$、$\frac1{\sqrt e}<x\leqq e$ では $g^\prime<0$ なので、最大値は実際に $x=\frac1{\sqrt e}$ で達成され、その値は $e+\frac2{\sqrt e}$ である。
また $\lim_{x\to0+}x\log x=0$ より $\lim_{x\to0+}g(x)=e>0$ であり、増加区間の値は $e$ より大きい。
減少区間の末端 $x=e$ では $g(e)=e-2e+e=0$ である。
したがって開端点 $0$ を含まない区間でも、最小値 $0$ を $x=e$ で達成する。

(4)

(3) より $0<x<e$ で $g(x)>0$、$g(e)=0$ である。$e$ より右では $g^\prime<0$ なので根はこの $e$ のみである。
$n\geqq1$ より $\frac1n\leqq1<e$ だから、囲まれる面積は $S_n=\int_{\frac1n}^e g(x)\,dx$ である。
部分積分によって $\int2x\log x\,dx=x^2\log x-\frac{x^2}2$ である。よって $g$ の原始関数は $x^2-x^2\log x+ex$ である。
$x=e$ で $e^2$、$x=\frac1n$ で $\frac{1+\log n}{n^2}+\frac en$ となるから、結論を得る。

(5)

(4) から $e^2-S_n=\frac en+\frac{1+\log n}{n^2}$ である。$n\geqq1$ で $\log n\geqq0$ なのでこれは正である。
一方、(2) へ $x=n$ を代入して $n-\log n-1\geqq0$、すなわち $1+\log n\leqq n$ である。
したがって $e^2-S_n\leqq\frac en+\frac n{n^2}=\frac{e+1}n$ である。$n=1$ で上側の等号が成り立つ。