2藤田医科大学 2025年 数学 第2問解答・解説

対角線 $AC$ 上に、$\angle ABE=\angle DBC$ となる点 $E$ をとる。
円周角の定理より $\angle BAE=\angle BAC=\angle BDC$ なので、$\triangle ABE$ と $\triangle DBC$ は相似。
したがって $\frac{AE}{CD}=\frac{AB}{BD}$、すなわち $AE\cdot BD=AB\cdot CD$。
また、$\angle EBC=\angle ABC-\angle ABE=\angle ABC-\angle DBC=\angle ABD$、$\angle ECB=\angle ACB=\angle ADB$ なので、$\triangle EBC$ と $\triangle ABD$ も相似。
これより $\frac{EC}{AD}=\frac{BC}{BD}$、すなわち $EC\cdot BD=BC\cdot AD$ を得る。
2式を加え、$AE+EC=AC$ を用いると、$AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD$ となる。