1藤田医科大学 2025年 数学 第1問解答・解説

(1)

$35=\frac{10\cdot7}2$ なので、$1.5439<\log_{10}35<1.5441$。
$300$ 倍して $463.17<\log_{10}(35^{300})<463.23$ となる。整数部分が $463$ なので、桁数は $464$。
小数部分は $0.17$ から $0.23$ の間で、$0<$ 小数部分 $<\log_{10}2$ が成り立つから、仮数は $1$ 以上 $2$ 未満。よって、最高位は $1$。

(2)

$u=\sqrt2$、$v=\sqrt3$、$w=\sqrt{11}$ とする。
$w$ の符号が反対の項を組にすると、
$$\begin{aligned} a&=\frac{2(u+v)}{(u+v)^2-11}+\frac{2(u-v)}{(u-v)^2-11}\\ &=\frac{u+v}{-3+\sqrt6}+\frac{u-v}{-3-\sqrt6}。 \end{aligned}$$$$a=\frac{2(u+v)}{(u+v{)}^2-11}+\frac{2(u-v)}{(u-v{)}^2-11}$$$$=\frac{u+v}{-3+\sqrt{6}}+\frac{u-v}{-3-\sqrt{6}}。$$
通分した分子は $-6u-2v\sqrt6=-12\sqrt2$、分母は $3$ なので、$a=-4\sqrt2$。
よって $a^2=32$。

(3)

他の根を $r$ とすると、多項式は $(x+3)^2(x-r)$。$x$ の係数 $9-6r$ が $39$ に等しいので、$r=-5$。$r\ne-3$ で、2重解条件も満たす。

(4)

円の中心 $(3,-5)$ から点 $(9,3)$ への半径ベクトルは $(6,8)$。これが接線の法線なので、$6(x-9)+8(y-3)=0$。両辺を $2$ で割ると $3(x-9)+4(y-3)=0$、すなわち $3x+4y-39=0$。

(5)

与えられた2式を加えると、$(\sin\alpha+\sin\beta)^2+(\cos\alpha+\cos\beta)^2=2+\sqrt3$。左辺は $2+2\cos(\alpha-\beta)$ なので、$\cos(\alpha-\beta)=\frac{\sqrt3}2$。よって、その平方は $\frac34$。

(6)

公比を $r$ とする。連続する12項ずつの和は、公比 $r^{12}$ の等比数列。
$S_{24}=S_{12}(1+r^{12})$ より $20=5(1+r^{12})$、したがって $r^{12}=3$。
よって、$S_{60}=5(1+3+3^2+3^3+3^4)=605$。

(7)

分子の偏角は $\frac\pi6$、分母は $\frac\pi4$ なので、$z$ の偏角は $-\frac\pi{12}$。$z\ne0$ であり、$z^n$ が実数となる条件は $-\frac{n\pi}{12}$ が $\pi$ の整数倍であること。最小の正整数 $n$ は $12$。

(8)

$f'(x)=3x^2+2x-2$ から、$f'(-2)=6$。
接線は $y-1=6(x+2)$、すなわち $y=6x+13$。
差は $f(x)-(6x+13)=x^3+x^2-8x-12=(x+2)^2(x-3)$ なので、他の交点は $x=3$、その $y$ 座標は $31$。

(9)

全体は ${}_{7}\mathrm{P}_{3}=210$ 個。
3桁の9の倍数は、各桁の和が $9$ または $18$ である。
相異なる3数字の組は、和が $9$ のものが $\{1,2,6\},\{1,3,5\},\{2,3,4\}$、和が $18$ のものが $\{5,6,7\}$ の計4組。
各組は6順列なので、$24$ 個。

(10)

平均は $\frac{306}6=51$。偏差は $9,-9,-45,45,9,-9$ で、平方和は $4\cdot81+2\cdot2025=4374$。分散は $\frac{4374}6=729$ なので、標準偏差は $\sqrt{729}=27$。