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藤田医科大学／2023年度／推薦

3藤田医科大学 2023年 数学 第3問解答・解説

1問題

藤田医科大学2023年度第3問
点A, B, C, T\mathrm{A},\,\mathrm{B},\,\mathrm{C},\,\mathrm{T}が線で結ばれた図1のような経路がある。この経路上を点P\mathrm{P}が1秒ごとに以下のような確率で動く。点A\mathrm{A}から点B\mathrm{B}、C\mathrm{C}、T\mathrm{T}に動く確率はそれぞれ13\dfrac{1}{3}である。点T\mathrm{T}から点A\mathrm{A}に動く確率は13\dfrac{1}{3}、点T\mathrm{T}から右向きに出て反時計回りに動いて点T\mathrm{T}に戻る確率は13\dfrac{1}{3}、左向きに出て時計回りに動いて点T\mathrm{T}に戻る確率は13\dfrac{1}{3}である。点B\mathrm{B}から点A\mathrm{A}に動く確率、点C\mathrm{C}から点A\mathrm{A}に動く確率はどちらも11である。最初、点P\mathrm{P}が点A\mathrm{A}にあるとする。nn秒後に点P\mathrm{P}が点A\mathrm{A}、B\mathrm{B}、C\mathrm{C}、T\mathrm{T}にある確率をそれぞれana_{n}、bnb_{n}、cnc_{n}、tnt_{n}とするとき、次の問いに答えよ。ただしnnは正の整数とする。

(1) a1a_{1}、a2a_{2}、a3a_{3}、a4a_{4}を求めよ。

(2) an+1a_{n+1}をbnb_{n}、cnc_{n}、tnt_{n}を用いて表せ。

(3) ana_{n}、an+1a_{n+1}、an+2a_{n+2}の間の関係式を求めよ。

(4) n→∞n\to\inftyにおけるana_{n}の極限値を求めよ。
保存された問題原図（掲載用の切抜き・配置は未確定）

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    a1=0,a2=79,a3=227,a4=5381a_1=0,a_2=\frac79,a_3=\frac2{27},a_4=\frac{53}{81}。
  • (2)
    an+1=bn+cn+tn3a_{n+1}=b_n+c_n+\frac{t_n}3。
  • (3)
    9an+2+3an+1−4an=39a_{n+2}+3a_{n+1}-4a_n=3。
  • (4)
    lim⁡n→∞an=38\lim_{n\to\infty}a_n=\frac38。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1)

初期は a0=1,b0=c0=t0=0a_0=1,b_0=c_0=t_0=0。1秒後は b1=c1=t1=13b_1=c_1=t_1=\frac13 で a1=0a_1=0。
したがって a2=b1+c1+t13=79a_2=b_1+c_1+\frac{t_1}3=\frac79、t2=29t_2=\frac29。
b2=c2=0b_2=c_2=0 より a3=t23=227a_3=\frac{t_2}3=\frac2{27}、t3=a23+2t23=1127t_3=\frac{a_2}3+\frac{2t_2}3=\frac{11}{27}。
b3=c3=a23=727b_3=c_3=\frac{a_2}3=\frac7{27} なので a4=1427+1181=5381a_4=\frac{14}{27}+\frac{11}{81}=\frac{53}{81}。

(2)

B,CB,C からは確率1、TT からは 13\frac13 で AA へ移る。各到着確率を足す。

(3)

bn+1=cn+1=an3b_{n+1}=c_{n+1}=\frac{a_n}3、tn+1=an3+2tn3t_{n+1}=\frac{a_n}3+\frac{2t_n}3。
また(2)と全確率の和1より an+1=1−an−2tn3a_{n+1}=1-a_n-\frac{2t_n}3、したがって tn=32(1−an−an+1)t_n=\frac32(1-a_n-a_{n+1})。
an+2=2an3+tn+13=7an9+2tn9a_{n+2}=\frac{2a_n}3+\frac{t_{n+1}}3=\frac{7a_n}9+\frac{2t_n}9 に代入すると、2tn9=13(1−an−an+1)\frac{2t_n}9=\frac13(1-a_n-a_{n+1}) より an+2=7an9+13−an3−an+13=4an9−an+13+13a_{n+2}=\frac{7a_n}9+\frac13-\frac{a_n}3-\frac{a_{n+1}}3=\frac{4a_n}9-\frac{a_{n+1}}3+\frac13 となる。

(4)

un=an−38u_n=a_n-\frac38 と置くと 9un+2+3un+1−4un=09u_{n+2}+3u_{n+1}-4u_n=0。
特性方程式 9r2+3r−4=09r^2+3r-4=0 の二根は λ=−1+176\lambda=\frac{-1+\sqrt{17}}6、μ=−1−176\mu=\frac{-1-\sqrt{17}}6 で、いずれも絶対値が1より小さい。
漸化式の二つの独立な解 λn,μn\lambda^n,\mu^n の一次結合で unu_n を表せる。初めの二項に合わせれば帰納法で一致する。
したがって un→0u_n\to0 となり、極限は 38\frac38。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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