2藤田医科大学 2023年 数学 第2問解答・解説

(1)

$\sqrt3=\frac mn$ と既約な正整数 $m,n$ で表せると仮定すると $m^2=3n^2$。
整数の二乗を3で割った余りは0か1なので、$m^2$ が3の倍数であることから $m$ も3の倍数。
$m=3k$ と置けば $n^2=3k^2$ より $n$ も3の倍数となり、既約性に矛盾する。

(2)

$a=b=0$ なら等式は成り立つ。
逆に等式が成り立ち $b\ne0$ なら、$\sqrt3=-\frac ab$ は有理数となり(1)に矛盾。したがって $b=0$、等式から $a=0$ も従う。

(3)

$r=\sqrt2+\sqrt3$ が有理数と仮定する。$\sqrt2=r-\sqrt3$ を二乗すると $2=r^2+3-2r\sqrt3$、すなわち $(r^2+1)-2r\sqrt3=0$。
(2)を、有理数 $a=r^2+1,b=-2r$ として適用すると $r^2+1=0$ を得るが、実数 $r$ では不可能。したがって無理数である。