1藤田医科大学 2023年 数学 第1問解答・解説

(1)

同じ数字を区別しない全順列は $\frac{7!}{2!2!3!}=210$。先頭が0のものは、残り6桁に $1,1,2,2,0,0$ を並べる $\frac{6!}{2!2!2!}=90$。
したがって $210-90=120$。

(2)

正八面体の6頂点を $(\pm3,0,0),(0,\pm3,0),(0,0,\pm3)$ と置く。
各象限の部分は直交する3辺長3の三角錐で、体積は $\frac{27}6$。8個あるから36。

(3)

三角形の面積は内接円半径と半周長の積で $4\cdot20=80$。
ベクトル式から $10Q=5A+3B+2C$。したがって $Q$ の $BC$ からの高さは $A$ の高さの $\frac5{10}$ であり、$[QBC]=\frac12[ABC]=40$。

(4)

和は $\frac{n\cdot\frac{n(n+1)}2-\frac{n(n+1)(2n+1)}6}{n^3}=\frac{n^2-1}{6n^2}$。
$n\to\infty$ で $\frac16$。

(5)

$s=a+b+c=-7$、$p=ab+bc+ca=-1$、$q=abc=39$ と置く。
求める和は $\sum_{\mathrm{cyc}}\{\frac{s}{s-a}-1\}=s\sum_{\mathrm{cyc}}\frac1{s-a}-3$。ここで和は $a,b,c$ を巡回して取る。
分母積 $(s-a)(s-b)(s-c)=sp-q=-32$、分子の対積和 $(s-a)(s-b)+(s-b)(s-c)+(s-c)(s-a)=s^2+p=48$ なので、$\sum_{\mathrm{cyc}}\frac1{s-a}=-\frac32$。
したがって $(-7)(-\frac32)-3=\frac{15}2$。分母積が0でないので全項が定義される。

(6)

$\frac{5\pi}{14}=\frac\pi2-\frac\pi7$、$\frac{9\pi}{14}=\frac\pi2+\frac\pi7$ なので、二つの正接はそれぞれ $\cot\frac\pi7$、$-\cot\frac\pi7$。
$\tan^2\frac\pi7$ を掛けて $-1$。

(7)

$D=x^2-3x+6=(x-\frac32)^2+\frac{15}4>0$。
$f(x)-\frac45=\frac{(6x+1)^2}{5D}\geqq0$ で等号は $x=-\frac16$。
$\frac{40}3-f(x)=\frac{(4x-15)^2}{3D}\geqq0$ で等号は $x=\frac{15}4$。
したがって $m=\frac45,M=\frac{40}3$ で、比は $\frac{50}3$。

(8)

許される数字を $0,2,3,5,7,8,9$ の順で $0,1,2,3,4,5,6$ に対応させると、大小順は7進数の大小順と一致する。
2023は対応後 $1012_{(7)}$ となり、十進数値は $1\cdot7^3+0\cdot7^2+1\cdot7+2=352$。
0自身は正の数の列に入れないため、この数値がそのまま順位となる。

(9)

$P=(p,0),Q=(0,q)$ とすると、直線の切片式から $\frac1p+\frac8q=1$。
$p>1$、$q=\frac{8p}{p-1}$ なので $PQ^2=F(p)=p^2+\frac{64p^2}{(p-1)^2}$。
微分すると $F^{\prime}(p)=2p\{1-\frac{64}{(p-1)^3}\}$。$1<p<5$ で負、$p>5$ で正なので、$p=5,q=10$ で最小125。

(10)

分数の分母を有理化して整理すると $-1-\mathrm i$。
二乗は $2\mathrm i$、四乗は $-4$ なので、五乗は $(-4)(-1-\mathrm i)=4+4\mathrm i$。