2藤田医科大学 2023年 数学 第2問解答・解説

(1)
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\,\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\,\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ に $\mathrm{A}(2,\,0)$、$\mathrm{B}(1,\,\sqrt{3})$ を代入すると、$\mathrm{P}(x,\,y)$ は
$$x=2s+t,\qquad y=\sqrt{3}\,t$$
で決まる。よって $t=\dfrac{y}{\sqrt{3}}$、$s=\dfrac{\sqrt{3}x-y}{2\sqrt{3}}$ である。
$st$ 平面の 1 辺 1 の正方形は、点 $\mathrm{O}$、$\mathrm{A}$、$\mathrm{A}+\mathrm{B}=(3,\,\sqrt{3})$、$\mathrm{B}$ を頂点とする平行四辺形に移る。その面積は底辺 $\mathrm{OA}=2$、高さ $\sqrt{3}$ より $2\sqrt{3}$ なので、面積は $2\sqrt{3}$ 倍になる。
条件 $s\geqq 0$、$t\geqq 0$、$2\leqq s+2t\leqq 6$ の表す図形は、$st$ 平面では三角形 $s+2t\leqq 6$（頂点 $(0,0)$、$(6,0)$、$(0,3)$、面積 $9$）から三角形 $s+2t\leqq 2$（頂点 $(0,0)$、$(2,0)$、$(0,1)$、面積 $1$）を除いた台形で、面積は $9-1=8$ である。
よって、点 $\mathrm{P}$ がとりうる範囲の面積は $2\sqrt{3}\cdot 8=16\sqrt{3}$ である。
図は、$xy$ 平面で頂点 $(4,\,0)$、$(12,\,0)$、$(3,\,3\sqrt{3})$、$(1,\,\sqrt{3})$ の台形である。
(2)
$|s|+|t|\leqq r$ の表す図形は、頂点 $(\pm r,\,0)$、$(0,\,\pm r)$ の正方形で、面積は $2r^{2}$ である。条件 $1\leqq |s|+|t|\leqq 6$ の表す図形は、$r=6$ の正方形から $r=1$ の正方形を除いた部分なので、$st$ 平面での面積は $2\cdot 6^{2}-2\cdot 1^{2}=70$ である。
よって $xy$ 平面での面積は $70\cdot 2\sqrt{3}=140\sqrt{3}$ である。
図は、$r=6$ の正方形が頂点 $(12,\,0)$、$(6,\,6\sqrt{3})$、$(-12,\,0)$、$(-6,\,-6\sqrt{3})$ の平行四辺形（外側）に、$r=1$ の正方形が頂点 $(2,\,0)$、$(1,\,\sqrt{3})$、$(-2,\,0)$、$(-1,\,-\sqrt{3})$ の平行四辺形（内側）に移る。求める図形は、外側の平行四辺形の内部（周を含む）から、内側の平行四辺形の内部（周を含む）を除いた部分である。
(3)
$s=\dfrac{\sqrt{3}x-y}{2\sqrt{3}}$、$t=\dfrac{y}{\sqrt{3}}$ より $s+t=\dfrac{\sqrt{3}x+y}{2\sqrt{3}}$ である。よって
$$s^{2}+(s+t)^{2}=\dfrac{(\sqrt{3}x-y)^{2}+(\sqrt{3}x+y)^{2}}{12}=\dfrac{6x^{2}+2y^{2}}{12}=\dfrac{3x^{2}+y^{2}}{6}$$
となる。条件 $s^{2}+(s+t)^{2}\leqq 6$ は $3x^{2}+y^{2}\leqq 36$、すなわち $\dfrac{x^{2}}{12}+\dfrac{y^{2}}{36}\leqq 1$ である。
これは中心が原点、$x$ 軸方向の半径 $2\sqrt{3}$、$y$ 軸方向の半径 $6$ の楕円の内部（周を含む）である。その面積は
$$\pi\cdot 2\sqrt{3}\cdot 6=12\sqrt{3}\pi$$
である。